第6单元 第16讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率与全概率-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

第一部分 一轮单元复习第六单元 第六单元 概率与统计 第16讲 随机事件的概率、古典概型、条件概率与全概率 自主预习用 知识梳理 夯实基础 1.概率的几个基本性质 5.条件概率的概念 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1， (1)条件概率的概念 (2)必然事件的概率P(E)=1. 条件概率揭示了P(A),P(AB),P(BA)三 (3)不可能事件的概率P(F)=0. 者之间“知二求一”的关系 (4)互斥事件概率的加法公式 一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)> ①如果事件A与事件B互斥，则P(AUB) =P(A)+P(B). 0,我们称P(B1A) PAB为在事件A发 P(A) ②若事件B与事件A互为对立事件，则 生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 P(A)=1-P(B) 条件概率。 2.基本事件的特点 (2)概率的乘法公式 (1)任何两个基本事件是互斥的. 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B, (2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(BA).我 基本事件的和. 们称上式为概率的乘法公式. 3.古典概型 (3)条件概率的性质 具有以下两个特征的概率模型称为古典的概 设P(A)>0,则①P(2A)=1: 率模型，简称古典概型。 ②如果B与C是两个互斥事件，则P(BU (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试 C)A)=P(BA)+(CA): 验只出现其中的一个结果 ③设B和B互为对立事件，则P(B|A)= (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 1-P(BA). 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个， 6.全概率公式 而且所有结果出现的可能性都相等，那么每 (1)完备事件组 一个基本事件的概率都是】如果某个事件 设2是试验E的样本空间，事件A1,A2,… A.是样本空间的一个划分，满足： A包括的结果有m个，那么事件A的概率 ①A1UA2U…UAn=2. P(A)=四 ②A1,A2,…,A两两互不相容，则称事件 4.古典概型的概率公式 A,A2,…,An组成样本空间2的一个完备 P(A)=事件A包含的可能结果数 事件组。 试验的所有可能结果数 (2)全概率公式 设S为随机试验的样本空间，A,A2,…,A ·91· 艺考一本通数学 是两两互斥的事件，且有P(A,)>0,i=1,2, …,n,则对任意事件B二2，P(B)>0, ,,则对任一事件B,有P(B)=匀 有P(A:1B)= P(A,)P(BA,) P(B) P(A,)P(B A). P(A)P(BA）,i=1,2,…,n. 我们称上面的公式为全概率公式，全概率公 ∑P(A)P(B|A) 式是概率论中最基本的公式之一 7.贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，P(A,)和P(A:B)分别称 设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A 为先验概率和后验概率 UA2U…UAn=2,且P(A)>0,i=1,2, 典例剖析：：： 典例变式 变式训练 题型一 随机事件与概率 0的概率为1一a:发送1时，收到0的概率 考点一 随机事件之间的关系 为3(0<31)，收到1的概率为1一3.考虑 【例1一1】对飞机连续射击两次，每次发射-一 两种传输方案：单次传输和三次传输，单次 枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B=〈两 传输是指每个信号只发送1次，三次传输是 次都没击中飞机}，C={恰有一次击中飞 指每个信号重复发送3次，收到的信号需要 机}，D={至少有一次击中飞机}，其中彼此 译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信 互斥的事件是 ,互为对立事件的是 号即为译码：三次传输时，收到的信号中出 现次数多的即为译码（例如，若依次收到1， 【解析】设【为对飞机连续射击两次所发生 0,1,则译码为1) 的所有情况，.'A∩B=☑，B∩C=☑，A∩ A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1， C=☑.B∩D=☑.故A与B,B与C,A与 则依次收到1,0,1的概率为(1一a)(1 C,B与D为互斥事件.而B∩D=☑，BLUD B) =I,故B与D互为对立事件 B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收 【答案】A与B,A与C,B与C,B与D: 到1,0,1的概率为31一)2 B与D C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1 【规律方法】判断互斥、对立事件的两种方法 的概率为31一3)2十(1一) (1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定 D.当0<a<0.5时，若发送0，则采用三次 义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事 传输方案译码为0的概率大于采用单次 件：两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事 传输方案译码为0的概率 件为对立事件，对立事件一定是互斥事件，对立 【解析】设事件“发送信号0收到0”为事件 事件是互斥事件的充分不