第5单元 第15讲 导数的概念与运算-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

第一部分 一轮单元复习第五单元 第15讲 导数的概念与运算 自主预习 用 知识梳理 :夯实基础 1.导数的概念与运算 在点(x0,%)处的切线垂直于x轴，则此时 (1)函数y=f(x)在x=xo处的导数 导数f(x)不存在，由切线定义可知，切线 称函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率 方程为x=x0. 一十》为函数) 2.利用导数讨论函数的单调性或求函数的单调 △x 区间 f(x)在x=xa处的导数，记作f(xo)或 (1)函数的单调性 y=xo, 在(a,b)内函数f(x)可导，f(x)在(a,b)任 即 f(x) △y 意子区间内都不恒等于0. △x limn+△x)-fxn) f(x)≥0台f(x)在(a,b)上为增函数. 3r+ △x f(x)≤0台f(x)在(a,b)上为减函数. (2)函数f(x)的导函数 (2)辨明导数与函数单调性的关系 称函数f(x)=lim fx+△)-f为 (1)f(x)>0(或<0)是f(x)在(a,b)内单调 △* △x 递增（或递减）的充分不必要条件： f(x)的导函数 (2)f(x)≥0（或≤0）是f(x)在(a,b)内单调 (3)基本初等函数的导数公式 递增（或递减）的必要不充分条件， 原函数sin cos a(a>0 elog.r(a>0,且a≠1)ln 【注意】由函数f(x)在区间[a,b们内单调递 增（或递减），可得∫(x)≥0（或≤0）在该区 导函数cos sin r a'In a rIn a 间恒成立，而不是f(x)>0(或<0)恒成立， (4)导数运算法则 “=”不能少. [f(x)士g(x)]'=f(x)士g'(x): 3.利用导数解决函数的极值问题 [f(x)·g(x)]'=f(x)g(x)+f(x)g'(x): (1)函数的极小值 「f=f(g)-fg2(g(x)≠ 函数y=f(.x)在点x=a的函数值f(a)比它 -g(r) g(x) 在点x=a附近的其他点的函数值都小， 0). f(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f(x)< (5)复合函数的导数 0,右侧(x)>0,则点a叫做函数y=f(x) 复合函数y=f(g(x)的导数和函数y 的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极 f(),u=g(x)的导数间的关系为y'=y 小值。 ·u',即y对x的导数等于y对u的导数与 (2)函数的极大值 4对x的导数的乘积 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它 (6)导数的几何意义 在点x一b附近的其他点的函数值都大， 函数f(x)在点xo处的导数f(x)的几何意 f(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f'(x) 义是在曲线y=f(x)上点P(,)处的切 >0,右侧f(x)<0,则点x=b叫做函数y= 线的斜率.相应地，切线方程为y一= f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的 f(xo)(x一x).特别地，如果曲线y=f(x) 极大值 ·83 艺考一本通数学 (3)函数的极值 数f(x)在[a,b门上单调递减，则f(a)为函数 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值 的最大值，f(b)为函数的最小值 和极大值统称为极值， (3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内 4.函数的最值与导数 可导，求f(x)在[a,b们上的最大值和最小值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a, 的步骤如下： 们上必有最大值与最小值，函数的最大值和 ①求f(x)在(a,b)内的极值； 最小值一定产生在极值点或闭区间的端 ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较， 点处 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a) 小值. 为函数的最小值，f(b)为函数的最大值：若函 典例剖析话联 典例变式 变式训练 题型一 导数的运算 2.已知函数f(x)=二(e是自然对数的底数)， 【例1】分别求下列函数的导数： e (1)y=e·cosx: 则其导函数f(x)= ( 2y=++ A中 B C.1+x D.1-x 题型二导数的几何意义及应用 (3)y=r-m7os受 考法一求切线方程 【解析】(1)y'=(e)'·cosx+e(cosx)' 【例2-1】(1)(2018·全国I卷)设函数f(x) =e·cosx-e'sinx. =x3十(a一1)x2十a.x.若f(x)为奇函数，则 2w=+1+2y=3r-是 曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为 () (3)y=x-sin cos --sin r. A.y=-2.x B.y=-x C.y=2x D.y=x ∴y=x- gsin )=1- (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=lnx过 【规律方法】 坐标原点的两条切线的方程为 连乘积形式：