第5单元 第14讲 函数与方程-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

艺考一本通数学 第14讲 函数与方程 自主预习●年# 知识梳理 夯实基础 1.函数的零点 x=0有实数根 了x的图象金 (1)函数零点的定义：对于函数y=f(x),把 轴有父点 使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零 x有零点 点 4.二次函数y=a.x2+bx十c(a>0)的图象与零 (2)三个等价关系：方程f(x)=0有实数根 点的关系 白函数y=f(x)的图象与x轴有交点台函数 △=f-4ac △>0 △=0 △<0 y=(x)有零点. 2.函数零点的判定 二次函数 如果函数y=f(x)在区间[a,b们上的图象是 y=ax+bx+c 连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)< (a>0)的图象 0x=: 0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点， 即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就 与x轴的交点 (,0), (1,0) 无交点 是∫(x)=0的根.我们把这一结论称为函数 (x红，0】 或(，0) 零点存在性定理。 零点个数 1 3.明确三个等价关系（三者相互转化） 典例剖析 强 典例变式 联变式训练 题型一 函数零点所在区间的判断 (2)h(x)=f(x)一g(x)的零点等价于方程 【例1】(1)函数f(x)=lnx- 2的零点所在的 f(x)一g(x)=0的根， 即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点 大致区间是 的横坐标，其大致图象如图，从图象可知它 A.(1,2) B.(2,3) 们仅有一个交，点A,横坐标的范围为(0,1)， C.(1,e)和(3,4) D.(e,+o∞) 故选A. (2)设f(x)=0.8一1，g(x)=lnx,则函数 h(x)=f(x)一g(x)存在的零点一定位于下 列哪个区间 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) 【解折】af)-+是>06x>0 【答案】(1)B(2)A 【规律总结】判断函数零点所在区间的三种方法 f(x)在(0，十∞)上单调递增，又f(3)=ln3 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可 -导>0,2)=h2-1<02…3) 先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区 间上. <0,∴.f(x)唯一的零点在区间(2,3)内.故 (2)定理法：利用函数零，点的存在性定理，首先 选B. ·80· 第一部分一轮单元复习第五单元 看函数y=f(x)在区间[，b们上的图象是否连|【规律方法】判断函数零点个数的三种方法 续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y (1)方程法：令f(x)=0,如果能求出解，则有几 =f(x)在区间(a,b)内必有零点 个解就有几个零，点。 (3)图象法：通过画函数图象，观察图象与x轴 (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数 在给定区间上是否有交，点来判断 在区间[a,b们上是连续不断的曲线，且f(a)· 变式训练一 f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质（如单 已知函数fx)=lnx一() 的零点为xo, 调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有 多少个零点或零，点值所具有的性质。 则x所在的区间是 (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点 A.(0,1) B.(1,2) 个数问题.先画出两个函数的图象，看其交点的 C.(2,3) D.(3,4) 个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有 题型二函数零点个数的问题 几个不同的零，点 【例2】(1)函数f(x) x2十x-2,x≤0， 的零 变式训练二 -1+ln.x,x>0 l.函数f(x)=x-2|-lnx在定义域内的零 点个数为 ( 点的个数为 () A.3 B.2 C.1 D.0 A.0 B.1 C.2 D.3 (2)已知函数f(x)= log>0 若关于x 2.(多选)设函数f(x)的定义域为R,f(r一1) 3r,x≤0， 为奇函数，f(x十1)为偶函数，当x∈（一1,1] 的方程f(x)十x一a=0有且只有一个实根， 时，f(x)=一x2十1，则下列结论正确的是 则实数a的取值范围是 () 【解析】(1)【解析一】由f(x)=0得 x0, [x>0, x2+x-2=0-1+lnx=0. 解得x= A得)=-8 B.f(x)在(6,8)上为减函数 2或r=e C.点(3,0)是函数f(x)的一个对称中心 因此函数f(x)共有2个零，点 D.方程f(x)+lgx=0仅有6个实数解 【解析二】函数∫(x)的图象如图所示，由图 题型三函数零点的应用（高频考点）】 象知函数f(x)共有2个零，点 函数零点的应用是每年高考的重点，多以 ↑7 选择题或填空题的形式考查，难度中档及以上， y=f) 主要命题角度有：①已知函数在某区间上有零 3 点求参数：②已知函数零点或方程根的个数求 参数 考法一根据