第3单元 第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

艺考一本通数学 第9讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 自主预习●年# 知识梳理 夯实基础 1.正弦定理和余弦定理 (2)s-号sinA=2 定理 正弦定理 余弦定理 ucsin Bbsin C: (3)S= a2=F+2- 2r(a十b十c)(r为三角形的内切圆半 2bccos A: 径) sinA sinB sinc 内容 =d2+2- 3.三角形的判别 =2R(其中R是△ABC 2aceos B: 外接圆的半径) 2=a2+B-2ab (1)应用余弦定理判断三角形形状的方法 cos C 在△ABC中，c是最大的边， 若c2<a2+,则△ABC是锐角三角形： a=2Rsin A.b=2Rsin B. 若2=a2+b,则△ABC是直角三角形： e=2RinC,sinA=录： 若c2>a2十b,则△ABC是钝角三角形. (2)判断三角形形状的常用技巧 sinB=2录：i如C=2求：a Cos A: 26 若已知条件中既有边又有角，则 变形 c=sin A sin B: 形式 cos B=tely 2ac (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相 sinC;asin B=bsin A. 应关系，从而判断三角形的形状 bsin C=csin B,asin C cos C=a'ti- Zab a+b+c (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关 ciA:snA十snB+simC 系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用 =2R 三角形三个内角的和等于180这个结论. 2.三角形中常用的面积公式 （1S=2h(h表示边a上的高)： 典例剖析送 典例变式 用 变式训练 题型一利用正、余弦定理解三角形 【例1】(1)(2019·全国I卷)△ABC的内角 ①若∠ADC-号，求anB: A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA一 ②若6+c2=8,求b,c. =4csinc.cos (3)(2021·新高考I卷)△ABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c已知=ac,点D A.6B.5 C.4 D.3 在边AC上，BDsin∠ABC=asin C. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角 ①证明：BD=b: A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC ②若AD=2DC,求cos∠ABC 面积为3，若D为BC的中点，且AD=1. 【解析】(1)asinA-bsinB-4 csinC,.由正 弦定理，得a2-b=4c2,即a2=4c2十.由 44· 第一部分一轮单元复习第三单元 余弦定理，得cosA=+c-a 即AD+BD=4,.BD=3,a=2√3，由S 2bc +2-(4c2+)=-3c2 sinAa-2bcos A. 2bc 2bc 故选A. S-+-d)tan A.'.n A--3< (2)①【解法一】由△ABC面积为3，可知 0,又A∈（受，x),A-2红， Soe-jaesin B-/3.acsin B-2/3. 3 AB 又S=csnA,c=4,因分+c=8,可得6 、又在△ABD中，有in B sin/,由 =c=2. ADC君，可得nBin写 (3)①由题设，BD=asin C sin∠ABC,由正弦定理 知：sin C-sin ABC,即mCC b 故comB=停代入amB=25可得a sin∠ABC=方， 4.在△ADB中，由余弦定理可得AB2= ∴BD-%,又F=ac∴BD=b =BD+AD-2BD·AD·c0s爱即C= ②由题意知BD=b,ADDC- 3, 1+2-2X1X2Xc0s牙=7，解得c=7 在△ABD中， cos B=AB+BD AD:_7+4-15 2AB·BD 2W7×22√7 >0, .cos∠ADB= 62十—2g2—2、 462 故B∈(0，)，有smB=8 2tan B 2b.2 3 3 2 9a2 106 9 -a2 5 同理cOs∠CDB= 2b. 3 【解法二】D为BC中点，SAAc=3,则 ,∠ADB=π-∠CDB, 5m- 、、36-a0% 9 过A作AE⊥BC,垂足为E, 4= 2b6 ,整理得2a2+c2= 3 3 3,又=ac,∴2a2+6=16 11 a21 3· 整理得6d-11dG+3动=0，解得号-号或 在△ADE中，DE-,AE=9,Sm 是号cnCD=2. 由余弦定理知：cos∠ABC=2士c2-F-4 2ac ∴BD=2,BE=号tamB=能- BE 5 2 267 ②在△ABC中，由中线定理可得+c2=2 (AD+BD) -时，o∠AC-名>1不合题意： 当 ·45· 艺考一本通数学 当-时.s∠ABC- D二的取值范围是（号2） 综上os∠ABC- 4.(2023·新高考Ⅱ卷)已知在△ABC中，A十 B=3C,2sin (A-C)=si