第3单元 第8讲 两角和与差的正弦、余弦与正切-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

艺考一本通 数学 第8讲 两角和与差的正弦、余弦与正切 自主预习● 知识梳理 夯实基础 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.公式逆用 (1)sin(a士3)=sinacos3±cosasin3: (2)cos(aB)=cosacos3Fsinasing; )sin(±a=cos(牙干a: (3)tan(a士)= tana士tan3 I千tanatanB (2)sim(5±a-cos(干aj: 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (3)sim(±a)=cos(3千aj (1)sin2a=2sinacosa: (2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1- 4.辅助角公式 2sin'a: asina+ bcosa a+b sin (a+) (3)tan2a= 2tana 1-tan'a (其中tang- 【常用结论】 特别的 1.公式T士的变形 sina士coa=2sim(a±T）: (1)tana+tang=tan(a+B)(1-tanatanB); (2)tana-tanB-tan(a-B)(1+tanatanB). sina±/3coa=2sin(a±5）： 2.公式C2.的变形 ①)sin'a=号(1-cos2a):(2)cos'a 2(1+ √/3sina士cosa 2sin(a士若）月 2 cos2a). 典例剖析 典例变式 变式训练 题型一 三角函数的化简与求值 cos(a+B)=22cosa+F)sinB.则（ 【例1-1】I)已知sim(吾-a)=cos(+a小，则 A.tan(a-B)=1 B.tan(a+8)=1 tana= ( C.tan(a-B)=-1 D.tan(a+3)=-1 A.-1 B.0 c 【解析】(1)：sim百-a-cos(+a小， D.1 2 Sina. (2)计算 sin110°sin20° os15-sim155的值为 A号 B号 2 2 sina. .'.tana= sina =一1，故选A. Gg n-号 cosa (2) sinl10°sin20° sin70°sin209 (3)(2019·全国I卷)tan255°=( cos2155°-sin2155° cos310° A.-2-3 B.-2+√3 1 cos20°sin20° 2sn40° C.2-3 D.2+√3 c0s50 sin40° 2,故选B (4)(2022·新高考I卷)若sin(a+3)+ (3)tan255°=tan(180°+75)=tan75°= ·40· 第一部分一轮单元复习第三单元 tan(45°+30)= tan45°+tan30 1-tan45°tan30 【解析】(1)由cosa=1-2sinr受得，sin号 1+ =2十√3.故选D. =14=0-15)=3g5,又0 8 1、③ <a<受则0<号<血号>0.m号 (4)由已知得sin acos3+cos asin3+ cos a cos B-sin asin B=2(cos a-sin a) =-1十5，故答案为D. 4 sin B,sin acos B-cos asin B+cos acos B (2)''sin(a-B)=sin acos B-cos asin B= +sin asin3=0,即sin(a一)十cos(a-)= 子而cos asin-月言周此sin co=月之， 1 0,∴.tan(a-3)=-1,故选C 【答案】(1)A(2)B(3)D(4)C 【规律方法】 则n(e十段=ino9叶in广号 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 .cos(2a+23)=cos2(a+3)=1-2sin(a 看角通过看角之间的差别与联系。把角进行】 合理地拆分，从而正确使用公式 +=1-2()-日选B 二看 看函数名称之间的差异，从面而确定使用 (3)由tan(20°+40°)= tan20°+tan40° 函数名际的公式，常见的有“切化弦” 1-tan20°tan40 则 =3, 三看 分析结构特征，找到变形的方向，常见 的有“遇到分式要通分 “整式因式分 结构挎证！ 解三次式配方”等 得tan20°+tan40°-√3(1-tan20°tan40), (2)三角函数式化简的方法 ,∴.原式=√3(1-tan20°tan40)十√3tan20 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降暴或升 tan40°=√3. 幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升 (4)由2sin2a=cos2a+1,得4 sinacosa= 角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式 时，一般需要升次。 2co2ae∈(0，），·2sina=coa. 【例1-2】(1)(2023·新高考Ⅱ卷)已知a为 锐角osa=15,则m号=( 又