第2单元 第5讲 平面向量的坐标表示及数量积-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

艺考一本通数学 第5讲平面向量的坐标表示及数量积 自主预习●年# 知识梳理 夯实基础 1.平面向量的坐标运算 0·a=0. (1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量 (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度a 的模 与b在a的方向上的投影bcos0的乘积. 设a=(,y),b=(x22),则： (3)坐标表示：若a=(1,y),b=(2,),则 a+b=(m十x2,y十2），a一b=(一2，M a·b=x1x2+y1y2 ),a=(,m),a=+. 4.平面向量数量积的运算律 (2)向量坐标的求法 (1)a·b=b·a(交换律). 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为 (2)a·b=λ(a·b)=a·(b)(结合律). 向量的坐标.一般地，设A(1,y),B(x2, (3)(a十b)·c=a·c十b·c(分配律). 2),则AB=(2一x1y一y). 5.平面向量数量积的性质及其坐标表示 2.平面向量共线的坐标表示 设非零向量a=(,M),b=(22),0=(a,b). 设a=(,h),b=(2,必)，其中b≠0，则a∥b 几何表示 坐标表示 模 |a=√a·a la=√+ →02一x2h=0. 夹角 3.平面向量的数量积 m8治 0及十M及 √G十·+ (1)定义：已知两个非零向量a与b,它们的 a⊥b a·b=0 1十为3为=0 a·b与 西十为为≤√+y· 夹角为0，则|abcos0叫做a与b的数量 a·bl≤allb ab的关系 √十W 积（或内积），记作a·b,即a·b=a bcos0, 规定零向量与任一向量的数量积为0，即 典例剖析 典例变式 强蜜速 变式训练 题型一平面向量的坐标表示 (2)(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2), 【例1】(1)（多选）已知向量a=(-3,2),b=(2, b=(2,一2)，c=(1,).若c∥(2a+b),则入= 1),c=(入，一1)，∈R,则 ( A.若(a十2b)⊥c,则A=4 (3)(2021·全国乙卷)已知向量a=(2,5), B.若a=b+c,则A+t=一6 b=(入，4)，若a∥b,则1= Ca+b的最小值为5 【解析】(1)对于A,'a十2b=(1,4),c (a,-1),(a+2b)⊥c,.1×x+4×(-1)= D.若向量a十b与向量2b十c的夹角为锐 0,解得1=4，∴.A正确.对于B,由a=b十 角，则入的取值范围是（一∞，一1） ·22· 第一部分一轮单元复习 第二单元 c,得(-3,2)=(2,1)+(A,-1)=(21+λ，1 变式训练一 -1), 1.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b十 -3=21+λ， λ=-9 3c=0,则c等于 () 则12=t-1, 解得 t=3 故入十t A(,) -6,.B正确.对于C,,a十b=(-3,2) a(-》 +a(2,1)=(2-3,4+2),∴.a+b= c得) n是- √(2μ-3)2+(u+2)2=v5-8+13 = 2.已知平面向量a=(1,m),b-（一3,1)且 √5(-)+g,则当=青 () 时， (2a十b)∥b,则实数m的值为 a十b取得最小值，为5C正确对 A B.-3 c D-号 3.平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0),B(0, 于D,a+b=(-1,3),2b+c=(4+入，1)， 1),C(-1,c)(c>0),且|C=2,若O℃ 向量a十b与向量2b十c的夹角为锐角，： λOA十：OB,则实数入十：的值为 (a+b)·(2b+c)=-1×(4+A)+3×1> 题型二平面向量的数量积 0,解得入<-1：当向量a十b与向量2b十c 【例2】(1)(2022·全国乙卷)已知向量a,b满 共线时，一1×1一3×(4+十入)=0，解得λ= 足a=1,b=√3，a-2b=3,则a·b= 号A的取值范周是(-，一)U () A.-2 B.-1 (一号-小D不正确.故选ABC C.1 D.2 (2)由题意得2a十b=(4,2),c=(1,a),c (2)(2023·新高考1卷)已知向量a= /(2a+b.以-2=0，解得X-2 (1,1),b=(1,-1),若(a+b)⊥(a+b), 则 () (3)由题意结合向量平行的充分必要条件可 A.A十=1 B.入十4=-1 得2×4-A×5=0, C.y=1 D.4=-1 解方程可得入-故答案为 (3)(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边 长是2，E是AB的中点，则EC·ED= 【答案】(I)ABC 22 3)号 () 【规律方法】平面向量共线的坐标表示问题的常 A.5 B.3 见类型及解题策略 C.25 D.5 (1)利用两向量共线的条件求向量坐标.一般 【解析】(1)，|a-2b2=|a2一4a·b 地，在