第2单元 第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量-【艺考一本通】2024年高考数学一轮+冲刺（创新版）

艺考一本通数学 第二单元 平面向量 第4讲 平面向量的线性运算及基本定理与投影向量 自主预习● 知识梳理 过阳 夯实基础 1.平面向量的有关概念 (壮a)=( al=Allal, 》a: 名称 定义 备注 求实数入与 当a>0时，a与a的 既有大小又有方向的量 平面向量是自由向 (A十4)a= 数乘向量a的积 方向相同：当A<0时， 向量 叫做向量：向量的大小叫 量，平面向量可自由 加十a: 的运算 a与a的方向相反：当 (a+b)= 做向量的长度（或称模） 平移 a=0时，7a=0 长度为0的向量：其方向 零向量 记作0 是任意的 3.平面向量共线定理 向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只 单位 长度等于1个单位的 非零向量a的单位向 向量 向量 量为士司 有一个实数入，使得b=a. 4.平面向量基本定理 平行 方向相同或相反的非零 0与任一向量平行或 向量 向量，又叫做共线向量 共线 如果e1,2是同一平面内的两个不共线向量， 相等 长度相等且方向相同的 两向量只有相等或不 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只 向量 向量 等，不能比较大小 有一对实数1,2，使a=入1e1十入2e2. 相反 长度相等且方向相反的 0的相反向量为0 其中，不共线的向量e,e2叫做表示这一平面 向量 向量 内所有向量的一组基底。 2.向量的线性运算 5.向量的夹角 向量 定义 法则（或儿何意义） 运算律 (1)定义：已知两个非零向量a和b,作OA 运箕 交换律： e,OB=b,则∠AOB就是向量a与b的夹角. a+b-b (2)范围：设0是向量a与b的夹角，则0°≤0 +a: 求两个向量和 ≤180° 加法 结合律： 的运算 角形达则 平行四边形达则 (a+b)+c (3)共线与垂直：若0=0°，则a与b同向：若0 =a+(b+ =180°，则a与b反向：若0=90°，则a与b垂 c) 直 求a与b的相 -b=a十 减法反向量一b的 -b) 和的运算 三角形法则 ·18· 第一部分一轮单元复习 第二单元 典例剖析 典例变式 调 变式训练 题型一向量的线性运算 过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参 【例1】 (1)(2018·全国I卷)在△ABC中， 数的值. AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 【注意】应用初中平面几何的知识如平行线分线 E第 段成比例定理、相似三角形的性质等，可以简化 A.3AB-IAC B.1AB-3AC 运算。 变式训练一 C.3AB+IAC D.1AB+3AC 1.设D为△ABC所在平面内一点，BC=3CD. (2)(2022·新高考I卷)在△ABC中，点D 则 () 在边AB上，BD=2DA.记CA=m.CD=n. AA市=-}A+号AC 则C第= ( A.3m-2n B.-2m+3n BAD=AB-号AC C.3m十2n D.2m++3n CAD=号A$+号C 【解析】(1)，E是AD的中点，∴.EA -2成=研+=-+破 D.A0-号B-号AC 2.在△ABC中，点M,N满足AM=2MC,BN 又知D为BC的中点，·A市=专(A萌+ =NC.若MN=xAB+yAC,则x AC,因此E第=一}(AB+AC)+AB y= 3.点G为△ABC的重心（三角形三边中线的 A亦-AC,故选A 交点)，设BG=a,GC=b,则AB=() (2),'点D在边AB上，BD=2DA,∴.BD A.ja- B.ja+zo 2DA,即CD-C第=2(CA-CD). C.2a-b D.b-2a ∴.C第=3Cd-2CA=3n-2m=-2m+ 题型二 向量基本定理 3n.故选B. 【例2】(1)（多选）在△ABC中，D为BC的中 【答案】(1)A(2)B 点，且A它=2E市，则 () 【规律方法】平面向量线性运算问题的常见类型 AC=号c+ci 及解题策略 (1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减 B.CE-CA+CB 法均适合三角形法则， C.cE∥(CA+C) (2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用 D.CE⊥(CA-C第) 平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相 (2)如图，以向量OA=a,O克=b为邻边作 连向量的和用三角形法则。 (3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通 口0ADB,M=号BC,CN=号Ci,用a,b ·19· 艺考一本通数学 表示OM,ON,MN 【注意】在基底未给出的情况下，合理地选取基 底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几 何的一些性质定理 变式训练二 【解析】(1)A它=2ED,则A,E,D三点共 线，且A它=2ED, 1.如图，已知A=号A花，用OA,O形表示O巾，则 又AD为中线，点E O巾- () 为△ABC的重心， 连接CE并延长交AB 于F,则F为AB的