基本初等函数 复习讲义-2024届高三数学一轮复习

人教A版数学综合复习 函数 知识框架思维导图 目录 1、 基本初等函数基础 2、 函数的定义域性质及应用 3、 函数的变换及应用 4、 函数与方程问题 5、 嵌套函数 第1部分、 基本初等函数 老子有言：合抱之木，剩余毫末，九层之台，起于垒土，千里之行，始于足下。 【一次函数】 一次 函数 形如： ， 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 【二次函数】 1、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式： （2）顶点式： （3）两根式： 2、求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便． 3、二次函数图象的性质 图像 定义域 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 递减 递增 递增 递减 4、性质总结 （1）二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是 （2）当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； 当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，． 5、二次函数简图画法 五要素作图法：开口方向：，开口向上；，开口向下。 对称轴： 顶点：，也可以把对称轴值带入解析式求出y值即为顶点。 与轴交点：令，解出，即得与x轴交点的横坐标。 与轴交点：令，即可求出，得坐标（c，0） 6、二次函数与系数间的关系 （1） 绝对开口方向和大小，的正负决定开口方向，的大小决定开口大小。 【注】为正决定开口向上，为负决定开口向下；越大，开口越大。 （2） 共同决定了对称轴的位置。 【注】同号，对称轴在y轴左侧；异号，对称轴在y轴右侧；，则对称轴是y轴。 （3） c决定了抛物线与y轴的交点位置。 【注】交点在y轴正半轴；交点在y轴负半轴；在原点。 【反比例函数】 一、反比例函数的定义： 一般地，形如 y = ( k是常数, k = 0 ) 的函数叫做反比例函数。 【注】（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数； （2）解析式有三种常见的表达形式： （A）y = （k ≠ 0） ， （B）xy = k（k ≠ 0） （C）y=kx-1（k≠0） 二、反比例函数的图象 图像 定义域 值域 （-∞，0）（0,+∞） 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（-∞，0）和 （0，+∞）上是减函数 在区间（-∞，0）和 （0，+∞）上是增函数 函数值的 变化情况 当时，函数有最小值 当时，函数最大值- 渐近线 以x轴和y轴为渐近线 对称性 关于和原点对称 【双勾函数】 一、双勾函数的定义： 函数（a>0,b>0）叫做双勾函数（对勾函数、耐克函数），因其在（0，+∞）的图象似符号“√”而得名。 二、双勾函数的图象 利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0时，（当且仅当即时取等号），由此可得函数（a>0,b>0,x∈R+）的性质: 图像 定义域 值域 （-∞，-2）（,+∞） 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（-，0）和 （0，）上是减函数 在区间（-∞，-）和 （，+∞）上是增函数 函数值的 变化情况 当时，函数有最小值 当时，函数最大值- 渐近线 以和y轴为渐近线 【指数函数】 1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根． 当是奇数时， 的 次方根用符号表示； 当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示； 【注】0的次方根是0；负数没有次方根． ②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数． 当为奇数时，为任意实数；当 为偶数时，． ③根式的性质：； 当为奇数时，； 当为偶数时， ． （2）分数指数幂的概念 1、正数的正分数指数幂的意义：且． 0的正分数指数幂等于0． 2、 正数的负分数指数幂的意义：且． 0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、 4、指数幂的运算性质 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 2、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域为R． 【注】： 指数函数的定义是一个形式定义； 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． （2）指数函数的图象和性质 定义 函数且叫做指数函数 图象 ( 0 1 ) ( 0 1 ) 定义域 值域 （0,+∞） 过定点 图象过定