5.6 几何证明举例 第3课时2023-2024学年青岛版八年级上册数学.

第五章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理，并能将其熟练运用于证明与计算中. 复习回顾 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 1.线段垂直平分线的性质是什么？ 利用线段的轴对称性质. 2.当初是如何得出上述性质的？ 你能用推理的方法证实它的真实性吗？ 已知：CD是线段AB的垂直平分线，垂足为点M，P是直线CD上任意一点. 求证：PA=PB. 证明：①如图，当点P不与点M重合时. ∵PM⊥AB,（已知） ∴∠PMA=∠PMB=90°（垂直平分线的定义）， ∵PM=PM(公共边）,MA=MB（垂直平分线的定义）， ∴△PAO≌△PBO（SAS）， ∴PA=PB. D A B P C M ②当点P与点M重合时， ∵MA=MB（垂直平分线的定义）， ∴PA=PB. 由①②可知，该命题成立. 通过证明我们得到，线段的垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 符号语言: ①∵点P在线段AB的垂直平分线上， ∴PA=PB. ②∵CD⊥AB于点M，MA=MB，点P在CD上， ∴PA=PB. D A B P C M 请说出线段垂直平分线的性质定理的逆命题，它是真命题吗？应如何证明它的真实性? 证明：①如图，当点P不在线段AB所在直线时. ∵PA=PB,∴△PAB是等腰三角形. 过点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴AC=CB（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合）， ∴点P在线段AB的垂直平分线上. A B P 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. C ②当点P在线段AB所在直线时， ∵PA=PB,（已知） ∴点P是线段AB的中点. 已知：线段AB，P为平面内一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 由①②可知，该命题成立. 通过上述的证明，我们得出： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 符号语言:∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上． A B P C 证明：∵AD⊥BC，BD=DC， ∴AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC． ∵点C在AE的垂直平分线上， ∴AC=CE．∴AB=AC=CE． ∴AB+BD=CE+CD,即AB+BD=DE. 例1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上. 求证：AB+BD=DE. A B C D E 例2.已知:如图△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P. 求证:PA=PB=PC. ∴PA=PB=PC. A C B M P N M' N' 证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上,点P在线段BC的垂直平分线上(已知)， ∴PA=PB ,PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)， 总结：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB A A B C D 2.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=6，AC=5，则△ACE的周长为（　　） A．8 B．11 C．16 D．17 B 3.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO. 证明：∵AC=BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴CD为线段AB的垂直平分线. 又∵AB与CD相交于点O， ∴AO=BO. 4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数． 解：∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC， ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 思考：本节课你学到什么？ 垂直平分线 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 逆定理：到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. $$