精品解析：重庆市渝北中学校2024届高三上学期12月月考数学试题

渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测 数学试题 （全卷共四大题22小题，总分150分，考试时长120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将姓名、班级填写清楚. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、迹清晰. 3.请按题号顺序在答题卡的相应区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在试卷和草稿纸上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量满足，则与的夹角为（   ） A. B. C. D. 3. 剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后的纸张厚度为，第2次对折后的纸张厚度为，以此类推，设纸张未折之前的厚度为毫米，则（ ） A. B. C. D. 4. 若正四棱台的上、下底面的面积分别为2，8，侧棱与下底面所成角的正切值为2，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 28 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意的正数、，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. M点是圆上任意一点，为圆的弦，且，N为的中点.则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 在上最小值为 D. 将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象 10. 已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 椭圆C的离心率为 C. 直线l的方程为 D. 的周长为 11. 在正方体中，是侧面上一动点，下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 若∥，则平面 C. 若，则与平面所成角为 D. 若∥平面，则与所成角的正弦最小值为 12. 已知定义在上的函数和，是的导函数且定义域为.若为偶函数，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为___________． 14. 各项均为正数等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则 _____． 15. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为________． 16. 在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在数列中，，. （1）求证：为等差数列； （2）求的前项和. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求B； （2）已知，D为边上的一点，若，，求的长． 19. 从今年起，我国将于每年5月第四周开展“全国城市生活垃圾分类宣传周”活动，首全国城市生活垃圾分类宣传周时间2023年5月22日至28日，宣传主题为“让垃圾分类成为新时尚”，在此宣传周期间，某社区举行了一次生活垃圾分类知识比赛. 要求每个家庭派出一名代表参赛，每位参赛者需测试A，B，C三个项目，三个测试项目相互不受影响. （1）若某居民甲在测试过程中，第一项测试是等可能从三个项目中选一项测试，且他测试三个项目“通过”的概率分别为. 求他第一项测试“通过”的概率； （2）现规定：三个项目全部通过获得一等奖，只通过两项获得二等奖，只通过一项获得三等奖，三项都没有通过不获奖.已知居民乙选择的顺序参加测试，且他前两项通过的概率均为，第三项通过的概率为.若他获得一等奖的概率为，求他获得二等奖的概率的最小值. 20. 如图，在四棱台中，底面是正方形，，，，． （1）求证：直线平面； （2）求二面角余弦值． 21. 与双曲线有共同的焦点的椭圆经过点. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交椭圆于、两点，交轴于点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.求的取值范围. 22. 已知，. (1)求曲线在点处的切