抛物线及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

11.5 抛物线 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2. 直线被抛物线截得的弦长公式 设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝= (k为直线斜率)． 3．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 　 　 　　 顶点坐标 O(0,0) 对称轴 　　　　　　x轴 　　　　　y轴 焦点坐标 F 　　F 　　F F 离心率 e＝1 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 　x≥0，y∈R x≤0，y∈R 　y≥0，x∈R 　y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝-x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝-y0＋ ★知识拓展 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)． (3)以弦AB为直径的圆与准线相切． (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 一、抛物线方程 【例1】（1）已知圆x2＋y2－4x－12＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________. 【解析】 由题意，抛物线的准线方程为x＝－，圆的方程化为标准形式为(x－2)2＋y2＝42， 则圆心(2,0)到准线的距离d＝2＋＝4，解得p＝4. （2）焦点是F(0,5)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝20x B．x2＝20y C．y2＝x D．x2＝y 【解析】由5＝得p＝10，且焦点在y轴正半轴上，故方程形式为x2＝2py，所以x2＝20y. 【变式探究1】 （1）若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________. （2）已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为(　　) A．4 B．－ C．－4 D. （3）已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) A. x2＝y B. x2＝y C. x2＝8y D. x2＝16y 二、抛物线的几何性质 【例2】（1）若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________. 【解析】抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线 x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9. （2）若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P 的坐标为________. 【解析】 将x=3带入抛物线方程y2=2x，得y=. >2 A在抛物线内部，如图. 设抛物线上的点P到准线：的距离为d，由定义知 当PA时，最小，最小值为，此时P点的纵坐标为2，带入y2=2x得x=2 点P的坐标为（2,2） 【变式探究2】 （1）抛物线y2＝8x上到焦点的距离等于6的点的坐标是________． （2）设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝________. （3）设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． （4）点P为抛物线y2＝16x上的动点，直线l为抛物线的准线，M（1，6），点P到准线的距离为d，则 的最小值= （5）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则MN的中点到准线的距离为（ ） A． B．2 C．3 D．4 （6）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________. （7）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________. 习题： 11.5抛物线 1．抛物线x2＝y的焦