双曲线及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

11.4 双曲线 1．双曲线的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数2a(2a＜|F1F2|)的点的轨迹叫做 双曲线 ．这两个定点叫双曲线的 焦点 ，两焦点间的距离|F1F2|叫做 焦距 ． 集合P＝{M||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0； (1) 当 2a＜2c 时，P点的轨迹是双曲线； (2) 当 2a＝2c时，P点的轨迹是 两条射线 ； (3)当 2a＞2c时，P点不存在． 2.等轴双曲线   实轴和虚轴   等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝，渐近线方程为    y＝±x    . 3. 直线被双曲线截得的弦长公式 设直线与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝= (k为直线斜率)． 4．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 X型：焦点在x轴 Y型：焦点在y轴 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图　形 性　质 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b； a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 通径 过双曲线焦点且与长轴垂直的弦长： 距离 双曲线焦点到渐近线的距离等于b 三角形面积 点p为双曲线上任意一点，则 一、双曲线的定义及应用 【例1】已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，则|PF2|＝________. 【解析】由双曲线方程－＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图形可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2.因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33. 【变式探究1】 （1）设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则|PF1|=_______. （2）已知F1、F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，PQ是过焦点F1的弦，那么|PF2|＋|QF2|－|PQ|的值是________． 二　、双曲线的标准方程 【例2】（1）若椭圆＋＝1和双曲线－＝1有相同的焦点，则实数n的值是(　　) A.±5 B.±3 C.5 D.9 【解析】由题意得34－n2＝n2＋16,2n2＝18，解得n＝±3. （2）焦点在y轴上，过点(1,1)，且＝的双曲线的标准方程是________． 【解析】由于＝，∴b2＝2a2.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1，代入(1,1)点，得a2＝.此时双曲线方程为－x2＝1. 【变式探究2】 （1）焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　) A.x2－＝1 B.－y2＝1 C.y2－＝1 D.－＝1 （2）已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在直线y＝x上，则双曲线C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 三、双曲线的几何性质 【例3】（1）在平面直角坐标系xoy中，若双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【解析】先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.因为双曲线的焦点F（c，0）到渐近线即bx±ay=0的距离为，所以b=c，因此a2=c2-b2=c2-, a=c，e=2. （2）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　) A.－y2＝1 B.x2－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【解析】由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1. 【变式探究3】 （1）若中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x （2）已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条