椭圆方程及其习题-2024届高三艺术生数学一轮复习

11.3 椭圆 1、椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数2a (2a＞|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫 椭圆 ．这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离|F1F2|叫做 焦距 ． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1) 若 2a＞2c ，则集合P为椭圆； (2) 若 2a＝2c ，则集合P为线段； (3)若 2a＜2c ，则集合P为空集． 2、椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 X型：焦点在x轴 Y型：焦点在y轴 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0) 图形 性 质 范围 －a≤x≤a ；－b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a 对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b，0)，B2(b，0) 轴 长轴A1A2的长为 2a ；短轴B1B2的长为 2b 焦距 |F1F2|＝ 2c 最大、最小距离 椭圆上的点到焦点的距离的最大值=a+c，最小值= 周长 过椭圆焦点的直线交椭圆于A、B两点，则 的周长=4，的周长= 2a + 2c 离心率 e＝(0,1) a，b，c的关系 通径 过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长： 三角形面积 点P为椭圆上任意一点，则= 3、直线与椭圆位置关系的判定 把椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)与直线方程y＝kx＋b联立消去y，整理成形如Ax2＋Bx＋C＝0的形式，对此一元二次方程有： (1)Δ＞0，直线与椭圆  相交  ，有 两个 公共点． (2)Δ＝0，直线与椭圆 相切 ，有  一个 公共点． (3)Δ＜0，直线与椭圆  相离  ， 无  公共点． 4.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 |AB|＝= (k为直线斜率)． 一、椭圆的定义及其应用 【例1】（1）已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A．2 B．3 C．5 D．7 【解析】由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.若|PF1|＝3，则|PF2|＝7. （2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝(　　) A. B. C．5 D．无法确定 【解析】　由题意，知|AC|＝8，|AB|＋|BC|＝10，所以＝＝＝. 【变式探究1】 （1）已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 （2）设F1，F2是椭圆＋＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为(　　) A．16 B．18 C．20 D．不确定 （3）P为椭圆＋＝1上任一点，F1、F2为左、右焦点，若PF1的中点为M，且|MO|=3，则|PF1|= （4）若椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为(　　) A．9 B．12 C．15 D．18 二、求椭圆的标准方程 【例2】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为. 过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为________． 【解析】设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝. 由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4. ∴b2＝8，∴椭圆C的方程为＋＝1. 【变式探究2】 （1）椭圆3x2＋y2＝1的焦点坐标为(　　) A．(，0)和(－，0) B．(0，)和(0，－) C.（）和（） D.（）和（） （2）已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为.则椭圆C的方程为 . （3）已知F1(－1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且 |AB|＝3，则C的方程为 . （4）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为