直线方程讲义-2024届高三艺术生数学一轮复习

11.1 直线 1．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 正向 与直线l 向上 之间所成的角叫做直线l的倾斜角，当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0° . (2)倾斜角的取值范围： [0，π) ． 2．直线的斜率 (1)定义：当 α≠90° 时，一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝ tan α ，倾斜角是90°的直线，其斜率不存在． (2)经过两点的直线的斜率公式： 经过两点P(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 【例1】若经过A(3,m)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°,则m=(　　) A.6 B.-6 C.4 D.-4 【解析】由题意可得tan 45°=，即,解得m=4,故选C. 【变式探究1】 （1）若A(-2,3) , B(3,-2) , C(, m)三点共线,则m的值为(　　) A、 B、 C、-2 D、2 （2）过点A与B的直线的倾斜角为(　　) A、45° B、135° C、45°或135° D、60° （3）过点M(-2,m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　) A、1 B、4 C、1或3 D、1或4 3.直线方程的五种形式 名称 条件 方程 适用范围 点斜式 斜率k与点(x1，y1) y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1 斜截式 斜率k与截距b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 截距式 截距a与b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax+By+c=0 (A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用 【例2】求经过点(2,-3),倾斜角是直线y=倾斜角的2倍的直线方程. 【解析】∵直线的斜率为∴倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°,其斜率为. ∴所求直线方程为y+3=(x-2)，即x-y-2-3=0. 【变式探究2】 （1）过点(－1,2)且倾斜角为30°的直线方程为(　　) A. x－3y＋6＋＝0　　 B.x－3y－6＋＝0 C.x＋3y＋6＋ D.x＋3y－6＋＝0 （2）已知直线，则直线l在x轴上的截距是 ，倾斜角是 ． 4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 5．两条直线的位置关系判定 若直线l1和l2分别有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则： ①直线l1∥l2的充要条件是    k1＝k2且b1≠b2       ②直线l1与l2重合的充要条件是  k1＝k2且b1＝b2      ③直线l1⊥l2的充要条件是 k1·k2＝－1 【例3】（1）若过点A(2,-2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q(-1,m)的直线平行,则m的值为(　　) A.-1 B. C.2 D. 【解析】由kAB=kPQ，得 即m=. （2）.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与直线3x+2y+6=0垂直,则实数a的值为(　　) A. B. C. D. 【解析】由题意知a≠0,直线l的斜率k==,所以·()=-1,所以a=. 【变式探究3】 （1）直线l1:(a+3)x+y+4=0与直线l2:x+(a-1)y+4=0垂直,则直线l1在x轴上的截距是(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 （2）直线l与直线x+y-2=0垂直,且它在y轴上的截距为4,则直线l的方程为　　　　　　　　. （3）过点(-1,3)且与直线x-2y+3=0平行的直线方程为(　　) A、x-2y+7=0 B、2x+y-1=0 C、x-2y-7=0 D、x-2y-4=0 （4）“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的(　　) 1. 充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．三种距离公式 （1）平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ （2）点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0