北京市中关村中学2023-2024学年高三12月月考数学试题

北京市中关村中学2024届高三第一学期诊断练习 数学2023.12 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ）． A. B. C. D. 3. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知m，n为两条不同直线，，为两个不同平面，那么使成立的一个充分条件是（ ） A. ， B. ， C. ，， D. m上有不同的两个点到的距离相等 5. 如图，某几何体的上半部分是长方体，下半部分是正四棱锥，，，，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知等差数列中，，公差，前项和为，则下列结论中错误的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 当时，值取得最大 C. 存在不同的正整数，使得 D. 所有满足的正整数中，当时，值最大 10. 已知正方体棱长为，是正方体表面上一动点，且，记点形成的轨迹为，给出下列四个命题： ①、，； ②、，； ③的长度是； ④的长度是 其中真命题的个数是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11 若复数，则________． 12. 已知向量满足与夹角为，则________，若，则实数________． 13. 已知双曲线一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为____若的一个焦点到的距离为，则的方程为________． 14. 已知函数对于任意，都有，且当时，.若函数恰有3个零点，则的取值范围是___________. 15. 已知椭圆的中心为，、是椭圆上的两个不同的点且满足，给出下列四个结论： ①点在直线上投影的轨迹为圆； ②的平分线交于点，的最小值为； ③面积的最小值为； ④中，边上中线长的最小值为． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 如图，棱柱的所有棱长都为2，，侧棱与底面的所成角为平面为的中点． （1）证明：； （2）证明：平面； （3）求二面角的余弦值． 17. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个条件①，，且；②；③中任选一个，回答下列问题． （1）求A； （2）若，求面积的最大值． 18. 新冠疫情下，为了应对新冠病毒极强的传染性，每个人出门做好口罩防护工作刻不容缓．某口罩加工厂加工口罩由三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；工序的加工质量层次为高，工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）．表①：表示三道工序加工质量层次为高的概率；表②：表示加工一个口罩的利润． 表① 工序 概率 表② 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2.3 0.8 0.5 （1）设表示一个口罩的利润，求的分布列和数学期望； （2）随机抽取3个口罩，求至少有一个口罩为100等级的概率； （3）由于工厂中工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对工序进行升级．在升级过程中，每个口罩检测成本增加了元时，相应的工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了；试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，则与应该满足怎样的关系？（直接写出结果） 19. 已知椭圆的长轴长为，为坐标原点. （1）求椭圆的方程和离心率. （2）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且点在轴的右侧.若，求四边形面积的最小值. 20. 已知函数 （1）当时，求函数的极值； （2）求函数的单调区间； （3）若对任意的实数，函数与直线总相切，则称函数为“恒切函数”．当时，若函数是“恒切函数”，求证：． 21. 设数阵，其中．设，其中且．