精品解析：上海市浦东新区2024届高三上学期期末教学质量检测数学试题

浦东新区2023学年度第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟； 2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分 . 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1. 设全集，则=___________. 2. 若复数（其中表示虚数单位），则____________． 3. 已知事件与事件互斥，且，，则________． 4. 已知直线的倾斜角为，请写出直线的一个法向量______. 5. 已知是等差数列的前项和，若，则满足的正整数的值为____________． 6. 已知向量，向量，则向量在向量上投影向量为____________． 7. 已知圆锥的母线与底面所成的角为，体积为，则圆锥的底面半径为___________． 8. 在100件产品中有90件一等品、10件二等品，从中随机抽取3件产品，则恰好含1件二等品的概率为____________（结果精确到0.01）． 9. 小明为了解自己每天花在体育锻炼上时间（单位：min），连续记录了7天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第60百分位数是____________． 10. 如图，已知函数（）的图像与轴的交点为 ，并已知其在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和．记，则____________． 11. 已知曲线 ，曲线 ，若的顶点的坐标为，顶点分别在曲线和上运动，则周长的最小值为____________． 12. 已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根．若，则满足条件的不同实数的个数为____________个． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分,否则一律得零分． 13. 如果，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 一组样本数据由10个互不相同的数组成，若去掉其中最小的和最大的两个数得到一组新样本数据，则（ ）. A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本方差相同 C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同 15. 已知棱长均为1的正棱柱有个顶点，从中任取两个顶点作为向量的起点与终点，设底面的一条棱为．若集合，则当中的元素个数最少时，的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 16. 对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”．有以下两个结论： ①在区间上优于； ②当时，区间上优于． 那么（ ） A. ①、②均正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①、②均错误 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知函数，其中． （1）是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． （2）当时，若关于不等式恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，点为中点． （1）求证：直线平面； （2）求点到平面的距离． 19. 某街道规划建一座口袋公园．如图所示，公园由扇形区域和三角形区域组成．其中三点共线，扇形半径为30米．规划口袋公园建成后，扇形区域将作为花草展示区，三角形区域作为亲水平台区，两个区域的所有边界修建休闲步道． （1）若，，求休闲步道总长（精确到米）； （2）若，在前期民意调查时发现，绝大部分街道居民对亲水平台区更感兴趣．请你根据民意调查情况，从该区域面积最大或周长最长的视角出发，选择其中一个方案，设计三角形的形状． 20. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点． （1）求双曲线的离心率； （2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围； （3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 21. 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i），（ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浦东新