福建省厦门集美中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。 福建省厦门市集美中学2023—2024年度上学期12月月考高二数学 时间:120分钟 总分:150分 一、单项选择题.本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求. 1已知经过点 两点的直线的方向向量为, 则的值为( ) A. B. C.1 D. 2如图, 在空间四边形 中, 设分别是的中点, 则( ) A. B. C. D. 3正项等比数列 中,, 则的公比为( ) A. B.3 C.6 D.9 4已知 分别是椭圆的左、右两个焦点, 若该椭圆上存在点满足, 则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 5《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次有小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这些节气的日影长依次成等差数列, 冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺,前九个节气日影长之和为 85.5 尺,则芒种日影长为( ) A.4.5 尺 B.3.5 尺 C.2.5 尺 D.1.5 尺 6已知正四棱锥 的高为, 点满足, 则点到平面的距离为( ) A. B. C. D. 7已知 分别为双曲线的左、右焦点, 过向直线引垂线, 垂足为点, 则双曲线的离心率为( ) A.3 B. C.2 D. 8 已知直线 与圆交于两点, 点满足, 则圆心到直线的最大距离为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分. 9.点 为抛物线上一点, 点是抛物线的焦点,为坐标原点,为上一点, 且, 则( ) A. B. C.直线 的斜率为 D.的面积为 16 10.已知 是等差数列的前项和,且, 则下列选项正确的是( ) A.数列 为递增数列 B. C.的最大值为 D. 11.已知圆 , 圆, 则下列说法正确的( ) A.点 在圆 A 内 B.圆 上的点到直线的最小距离为 1 C.圆 和圆的公切线长为 2 D.圆 和圆的公共弦所在的直线方程为 12.在正方体 中,分别为棱的中点, 则下列说法正确的是( ) A.直线 与平面垂直 B.平面 与平面平行 C.直线 与直线所成角的正弦值为 D.正方体 的十二条棱所在直线与平面所成的角均相等 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知向量 , 则 . 14.已知直线 与交于两点,是等边三角形,则的值为 . 15.点 到点的距离之差为, 到轴、轴距离之比为, 则的取值范围是 . 16.已知数列 , 对任意正整数成等差数列, 公差为, 则 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本题满分10分)在正四棱柱 中,是棱上的中点. (1)求证: ; (2) 异面直线 与所成角的余弦值. 18.(本题满分12分)如图, 过圆 外一点向圆引切线. (1)求过点 的圆的切线方程; (2)若切点为 , 求过切点的直线方程. 19.(本题满分12分)已知等差数列 是递增数列且满足, 且成等比数列. (1)求 的通项公式; (2)记 为数列前项的乘积, 求的最大值. 20.(本题满分12分)平面上的动点 到定点的距离等于点到直线的距离, 记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线 的方程; (2)直线 与曲线相交于两点, 线段的中点为. 是否存在这样的直线, 使得, 若存在, 求实数的值, 若不存在, 请说明理由. 21.(本题满分12分)如图, 正方形 的中心为, 四边形为矩形, 平面平面. (1)求证: 平面; (2)设 为线段上的点, 求如果直线和平面所成角的正弦值为, 求的长度. 22.(本题满分12分)如图所示, 以原点 为圆心, 分别以 2 和 1 为半径作两个同心圆, 设为大圆上任意一点, 连接交小圆于点, 设, 过点分别作轴,轴的垂线,两垂线交于点. (1)求动点 的轨迹的方程; (2)点 分别是轨迹上两点, 且, 求面积的取值范围. 参考答案及解析 1. 【答案】B 【解析】. 2. 【答案】D 【解析】因为 是的中点, 所以, 故 , 3. 【答案】A 【解析】设等比数列 的公比为, 因为数列为正项等比数列, 所以, 由题 , 则, 所以, 所以. 4. 【答案】A 【解析】解: 由 分别是椭圆的左、右两个焦点, 则 , 当点位于短轴端点时,取最大值, 要使 上存在点满足, 则的最大值大于或等于, 即点位于短轴 端点时, 大于或等于, 则, 解得. 5. 【答案】C 【解析】从冬至日起, 依次构成等差数列, 设为 , 由题意得: , 解得, 又冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺: , 所以