3.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.双曲线的几何性质 数学 性 质 范围 . . 对称性 对称轴: , 对称中心: . 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长= , 虚轴长= . 离心率 e= (e>1) 渐近线 . x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a x轴,y轴 原点 2a 2b 数学 [思考1] 渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 提示:渐近线相同的双曲线有无数条,但它们的实轴长与虚轴长的比值相同. [思考2] 椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样吗? 提示:不一样.椭圆的离心率0<e<1,而双曲线的离心率e>1. 数学 2.直线与双曲线的位置关系 k Δ的取值 位置关系 公共点个数 相交 . Δ>0 . Δ=0 相切 . Δ<0 相离 . 1 2 1 0 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(　 　) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.(　 　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大. (　 　) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线. (　 　) √ × √ × 数学 A 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 数学 方法总结 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤如下. (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键; (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质. 数学 [变式训练1] 若把本例中的双曲线方程改为“9y2-4x2=-36”,试求之. 数学 探究点二 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 数学 数学 方法总结 由几何性质求双曲线方程的方法如下. 数学 数学 数学 (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线的方程. 数学 探究点三 双曲线的离心率 [例3] (1)已知双曲线的一条渐近线方程为 y=2x,则其离心率为　　　; 数学 思路点拨:(2)利用条件建立齐次方程求解. 数学 方法总结 求双曲线离心率的方法如下. (3)若得到的是关于a,c的齐次方程或不等式,则转化为关于e的方程或不等式求解. 数学 数学 数学 [例4] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试在下列条件下讨论实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点; (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点; (3)直线l与双曲线没有公共点. 探究点四 直线与双曲线的位置关系 数学 数学 方法总结 (1)直线与双曲线的位置关系的判定方法. ①若m≠0,方程(*)为关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两解,则直线与双曲线相交于不同的两点; 当Δ=0时,方程有一解,则直线与双曲线相切; 当Δ<0时,方程无解,则直线与双曲线相离. 数学 数学 数学 数学 课堂达标 C 解析:由双曲线的标准方程得a2=1,故a=1,所以实轴长为2a=2.故选C. 数学 C 数学 3.以y=±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为　　　　　　.  数学 答案:(2,+∞) 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图象 y=±x y=±x k=± 将y=kx+m与-=1联立消去y得一元方程(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0. k≠± 2.(2022·山东潍坊高二期末)双曲线方程为-y2=1,则渐近线方程为(　 　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x 3.已知双曲线-=1(b>0)的虚轴长为2,其离心率为　　　　.  解:双曲线方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长a=,虚半轴长b=,c=, 焦点坐标为(,0),(-,0),离心率e===, 顶点坐标为(-,0),(,0),渐近线方程为y=± x=±x. 解:双曲线的方程化为标准形式是 -=1, 所以a2=9,b2=4,所以a=3,b=2,c=. 又双曲线的焦点在x轴上,所以顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐