3.2.1 双曲线的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.双曲线的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点F1,F2叫作双曲线的 ,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的 . [思考1] 在双曲线的定义中,若去掉“绝对值”,其轨迹还是双曲线吗? 提示:不是,其轨迹是双曲线的一支. 双曲线 焦点 焦距 数学 [思考2] (1)双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么? 提示:(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)双曲线的定义中,若|MF1|-|MF2|=2a(常数),且2a<|F1F2|,则点M的轨迹是什么? 提示:(2)点M的轨迹为双曲线的一支. 数学 2.双曲线的标准方程 [思考3] 如何根据双曲线标准方程确定焦点位置? 提示:若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为正,则焦点在y轴上. a2+b2 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (2)在双曲线标准方程中,a,b的大小关系是 a>b.(　 　) (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　 　) × × × 数学 2.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足 |PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是 (　 　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 D C 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 双曲线的定义及应用 解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22. 即点M到另一个焦点的距离为10或22. 数学 数学 方法总结 在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||= 2a的应用.与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等.另外,在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用. 数学 [变式训练1] (1)(多选题)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|-|PF2|=±2 B.|PF1|-|PF2|=±3 C.|PF1|-|PF2|=±4 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 解析:(1)|F1F2|=4,根据双曲线的定义知选AB. 答案:(1)AB 数学 答案:(2)9 数学 探究点二 双曲线的标准方程 数学 数学 数学 方法总结 (1)双曲线标准方程的两种求法如下. ①定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程; (2)求双曲线标准方程有以下两个关注点. ①定位:指确定与坐标系的相对位置.在“标准方程”的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式. ②定量:指确定a2,b2的具体数值.常根据条件列方程(组)求解. 数学 [变式训练2] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8; 数学 数学 探究点三 双曲线定义与标准方程的应用 数学 (2)某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图所示),|PA|=100 m,|PB|=150 m,∠APB=60°,试说明怎样运土才能最省工. 数学 数学 方法总结 (2)利用双曲线解决实际问题的基本步骤如下. ①建立适当的平面直角坐标系; ②求出双曲线的标准方程; ③根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题. 注意:实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围. 数学 数学 (2)设声速为m米/秒,在相距10m米的A,B两哨所,听到炮弹爆炸声的时间差 6秒,求炮弹爆炸点所在曲线的方程. 数学 课堂达标 B 数学 A 数学 3.已知圆C:(x+3)2+y2=4及点A(3,0),Q为圆周上一点,AQ的垂直平分线交直线CQ于点M,则动点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  数学 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c关系