3.1.2 椭圆的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

3.1.2　椭圆的简单几何性质 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.椭圆的简单几何性质 数学 对称性 对称轴: ,对称中心: . 范围 x∈ , y∈ . x∈ , y∈ . 顶点 . . . 轴长 短轴长|B1B2|= ,长轴长|A1A2|= . 焦点 . . 焦距 |F1F2|= . 离心率 e= (0<e<1) x轴和y轴 (0,0) [-a,a] [-b,b] [-b,b] [-a,a] A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B(-b,0),B2(b,0) 2b 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) 2c 数学 [思考1] 椭圆上的点到焦点的最大距离与最小距离分别是什么? 提示:最大距离为a+c;最小距离为a-c. 数学 = < > 数学 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 . Δ 0 相切 . Δ 0 相离 . Δ 0 2 > 1 = 0 < 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 a-c.(　 　) (3)椭圆的长轴、短轴就是x轴和 y轴.(　 　) (5)椭圆的离心率e越小,椭圆越圆.(　 　) × √ × × √ 数学 D 3.椭圆x2+4y2=4的离心率为　　　　,焦距为　　　　.  数学 课堂探究·素养培育 探究点一 椭圆的几何性质 [例1] 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 数学 方法总结 求椭圆的几何性质时,应把椭圆方程化为标准方程,注意分清楚焦点的位置,这样便于直观地写出a,b的数值,进而求出c,求出椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标等几何性质. 数学 [变式训练1] 若椭圆方程为9x2+16y2=144,求其长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标. 数学 探究点二 由椭圆的性质求椭圆方程 数学 [例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8. 数学 方法总结 (1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法. (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”,即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是:①求出a2,b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标准方程. 数学 数学 [变式训练2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (2)长轴长是短轴长的5倍,且过点 A(5,0). 数学 数学 探究点三 椭圆的离心率 数学 方法总结 (3)若已知b,c,则求a,再利用(1)或(2)求解; (4)若已知a,b,c的关系,可转化为关于离心率e的方程(不等式)求值 (范围). 数学 [变式训练3] 已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的一点,当PF1⊥F1A,PO∥AB(O为椭圆的中心)时,求椭圆的离心率. 数学 探究点四 直线与椭圆的位置关系 数学 方法总结 直线与椭圆位置关系的判定及弦长公式的运用 (1)直线与椭圆公共点个数问题,一般转化为方程根的问题,由判别式进行判断. 数学 [变式训练4] 如图,已知一直线与椭圆 4x2+9y2=36相交于A,B两点,弦AB的中点为M(1,1),求直线AB的方程. 数学 课堂达标 D 数学 ABC 解析:由椭圆的对称性知点(2,-3),(-2,-3),(-2,3)也在椭圆上.故选ABC. 数学 C 数学 答案:±1 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 图象 [思考2] 椭圆方程+=1(a>b>0)中a,b,c的几何意义是什么? 提示:在椭圆方程+=1(a>b>0)中,a,b,c的几何意义如图所示,即a,b,c正好构成了一个以对称中心、一个焦点、一个短轴顶点为顶点的直角三角形. 2.点P(x0,y0)与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系 点P在椭圆上⇔+ 1; 点P在椭圆内部⇔+ 1; 点P在椭圆外