2.5.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

2.5.2　圆的一般方程 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 圆的一般方程 (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形. 数学 (2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0( >0)叫作圆的一般方程. [思考1] 所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圆吗? 提示:不是,只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. [思考2] 若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,需满足什么条件? 提示:若方程表示圆,则应满足三个条件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0. [思考3] 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同? 提示:圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. D2+E2-4F 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　 　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化.(　 　) √ √ × √ 数学 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　 　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) D D 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 圆的一般方程的概念 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径. (1)3x2+y2+2x+1=0; 解:(1)由于x2,y2的系数不相等,所以该二元二次方程表示的不是圆. (2)x2+y2+xy+1=0; 解:(2)由于该二次方程中含有xy项,所以该二元二次方程表示的不是圆. 数学 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径. (3)x2+y2+x+2y+1=0; 数学 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径. (4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 数学 方法总结 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 (1)先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即 ①x2与y2的系数相等; ②不含xy项. (2)当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. 数学 数学 探究点二 求圆的一般方程 [例2] 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值. 思路点拨:用待定系数法设出圆的一般方程,然后将A,B,C三点坐标代入,求出D,E,F即可. 数学 (2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,因为点M(a,2)在△ABC的外接圆上, 所以a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6. 数学 方法总结 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F. 数学 [变式训练2] 求圆心在直线y=x上,且经过点A(-1,1),B(3,-1)的圆的一般方程. 数学 探究点三 与圆有关的轨迹方程问题 [例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (1)直角顶点C的轨迹方程; 数学 数学 数学 [例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求: (2)直角边BC中点M的轨迹方程. 数学 方法总结 求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y); (2)列出点M满足条件的集合; (3)用坐标表示上述条件,列出方程; (4)将上述方程化简; (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点. 数学 [变式训练3] 如图,已知线段AB的中点C的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2= 4上运动,求线段AB的端点B的轨迹方程. 数学 1.已知圆x2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标、半径的长分别是(　 　) A.(2,-1),3 B.(-2,1),3 C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9 课堂达标 A 解析:圆x2+y2-4x+2y-4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=9.故其圆心坐标为(2,-1), 半径的长为3.故选A. 数学 2.(2021·河北保定高二期末)若直线x+y-a=0过圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的圆心,则a等于(