2.1 直线的斜率-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

第2章　平面解析几何初步 2.1　直线的斜率 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 1.直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点 时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α= ,倾斜角的取值范围是 . [思考1] 任意一条直线是否都有倾斜角?倾斜角是否唯一? 提示:都有;唯一. 逆 0 0≤α<π 数学 2.直线的斜率 tan α (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,则直线的斜率公式为k=tan α= . [思考2] 斜率公式与两点的顺序有无关系? 提示:无关. 数学 3.斜率和倾斜角的关系 tan α 不存在 tan α [思考3] 直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗? 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). × (1)任意一条直线都有倾斜角,也都有斜率.(　 　) (2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.(　 　) (3)若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等.(　 　) (4)若k是直线的斜率,则k∈R.(　 　) × × √ 数学 C 2.如图所示,直线l的倾斜角为(　 　) A.30° B.60° C.120° D.以上都不对 3.(多选题)下列命题中错误的是(　 　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴 D.若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1) BCD 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 直线的倾斜角 [例1] (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° 解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.故选D. 数学 (2)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135° 解析:(2)如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°,如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°.故选D. 数学 方法总结 直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角.所以,在不知道直线上的点的坐标求倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意平面几何知识的应用. 易错警示:不会借助几何图形,就容易遗漏情况. 数学 [变式训练1] 设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为　　 　　.  解析:设直线l2的倾斜角为α1, 由图可知,α1=15°+75°=90°, 所以直线l2的倾斜角为90°. 答案:90° 数学 探究点二 直线的斜率 数学 方法总结 (1)倾斜角α与斜率k的关系如下. (2)斜率的两种求法如下. ①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k= tan α求斜率. 数学 数学 数学 探究点三 斜率与倾斜角的应用 [例3] 已知直线l的倾斜角α=45°,又P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值. 数学 方法总结 斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变,即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等,这正是利用斜率可证三点共线的原因. 易错警示:(1)判断三点是否共线,先判断任意两点连线的斜率是否存在. (2)若三点共线,则任意两点连线的斜率相等或不存在. 数学 [变式训练3] 如果三点A(2,1),B(-2,m),C(6,8)在同一条直线上,则m的值为　　　　.  答案:-6 数学 课堂达标 1.若过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的倾斜角为45°,则y等于(　 　) C 数学 D 数学 3.直线l经过原点和点(-1,2),则直线l的斜率等于　　 　　.  答案:-2 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (1)一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率,即k= .  直线 情形 α的 大小 0 0<α< <α<π k的 大小 0 k=