1.4 数学归纳法-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

*1.4　数学归纳法 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 数学归纳法的概念 在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤: (1)证明 (n∈N+)时命题成立; (2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何从n0开始的正整数n,命题成立,这种证明方法叫作数学归纳法. [思考] 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,n0的初始值为n0=3. n=n0 n=k+1 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). × (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(　 　) (2)所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明.(　 　) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设一定要用上.(　 　) (4)用数学归纳法不能证明不等式问题.(　 　) × √ × 数学 C 2.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+)时,第一步验证(　 　) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 3.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N+)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(　 　) A.当n=6时,该命题不成立 B.当n=6时,该命题成立 C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=4时,该命题成立 C (k+1)2 数学 课堂探究·素养培育 探究点一 数学归纳法的概念 [例1] 设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足当f(k)≥k+1成立 时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是(　　) A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有 f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有 f(k)≥k+1成立 D 数学 方法总结 (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定 为1. (2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. 数学 [变式训练1] (多选题)下列四个判断中,错误的有(　　) 数学 探究点二 用数学归纳法证明等式 [例2] 用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立, 即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2, 那么当n=k+1时, 1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+ 1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2, 即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立. 数学 方法总结 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明 n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. 数学 数学 探究点三 用数学归纳法证明几何问题 [例3] 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n= 1时命题成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分.则当n=k+1时,在(k+1)个圆中任取一个圆O,剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分,而圆O与k个圆有2k个交点,这2k个交点将圆O分成2k段弧,每段弧将原平面一分为二,故得f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2.所以当n=k+1时,命题成立.由(1)(2)可知,对一切n∈N+,命题成立,即这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+). 数学 方法总结 用数学归纳法证明几何问题时,一定要清楚从n=k到n=k+1时,新增加的量是多少.一般地,证明第二步时,常用的方法是加1法,即在原来k的基础上,再增加一个,当然我们也可以从(k+1)个中分出1个来,剩下的k个利用归纳