1.2.3 等差数列的前n项和-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习教学课件ppt（新教材，湘教版）

1.2.3　等差数列的前n项和 数学 知识探究·素养启迪 课堂探究·素养培育 数学 知识探究·素养启迪 知识探究 等差数列的前n项和 (1)等差数列的前n项和公式是用 推导的. (2)等差数列的前n项和公式. 倒序相加法 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 . . 数学 (3)若Sn为等差数列{an}的前n项和,则数列Sm,S2m-Sm, ,…也是等差数列. (4)等差数列的前n项和Sn的最值. ①若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最 值. ②若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得Sn的最 值. ③特别地,若a1>0,d>0,则 是Sn的最 值;若 a1<0,d<0,则 是Sn的最大值. [思考1] an=Sn-Sn-1对任意n∈N+都成立吗? S3m-S2m 小 大 S1 小 S1 提示:不是,只对n≥2,n∈N+成立. 数学 提示:由二次函数的性质可以得出,当a1<0,d>0时,Sn先减后增,有最小值;当a1>0,d<0时,Sn先增后减,有最大值;且n取最接近对称轴的正整数时,Sn取到最值. 数学 小试身手 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). √ (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起,一直到第n项an所有项的和. (　 　) (2)在等差数列{an}中,S4,S8,S12,…成等差数列.(　 　) (3)等差数列{an}的前n项和Sn都可以写成二次函数Sn=An2+Bn.(　 　) (4)若等差数列的项数为偶数2n,则S偶-S奇=nd.(　 　) × × √ 数学 A 2.(2021·安徽淮南一中高二开学检测)在等差数列{an}中,a3+a5+a7=12,则{an}的前9项和S9等于(　 　) A.36 B.48 C.56 D.72 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S6=a17,a4=16,则an=　　　 　.  5n-4 4.已知数列{an}的通项公式an=-5n+2,则其前n项和Sn=　　 　　　.  数学 课堂探究·素养培育 探究点一 等差数列的基本量运算 [例1] 已知等差数列{an}. 数学 [例1] 已知等差数列{an}. (2)a1=4,S8=172,求a8和d. 数学 方法总结 a1,d,n称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示, a1,d,n,an,Sn五个量中可知三求二,即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程 (组)来求解.这种方法是解决数列运算问题的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用. 数学 [变式训练1] 在等差数列{an}中: 数学 [变式训练1] 在等差数列{an}中: (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d; 数学 [变式训练1] 在等差数列{an}中: (3)S5=24,求a2+a4. 数学 探究点二 等差数列的前n项和的性质 [例2] (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S4=8,S8=4,则S12=　　　;  数学 法二　因为S4,S8-S4,S12-S8成等差数列, 即8,-4,S12-4成等差数列, 所以-8=8+S12-4, 所以S12=-12. 答案:(1)-12 数学 (2)等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n等于　　　 　　;  答案:(2)10　 数学 数学 方法总结 等差数列的前n项和常用的性质小结 (1)等差数列的依次k项之和,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差 数列. 数学 数学 [变式训练2] (1)已知等差数列{an}的前 n项和为Sn,若S10=10,S20=60,则S40等于(　　) A.110 B.150 C.210 D.280 解析:(1)因为等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=10,S20=60, 所以S20-S10=50, 由等差数列的性质可得10,50,S30-S20,S40-S30仍然是等差数列,公差为40, 所以S30-S20=90,S40-S30=130, 则S30=150,S40=280.故选D. 答案:(1)D 数学 答案:(2)D　 数学 答案:(3)75 数学 探究点三 等差数列的前n项和Sn的函数特征 [例3] 数列{an}的前n项和为Sn=33n-n2. (1)求{an