3.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图象 性 质 范围 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:x轴,y轴, 对称中心:原点 顶点 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 轴长 实轴长=2a, 虚轴长=2b 离心率 e=(e>1) 渐近线 y=±x y=±x [思考1] 渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 提示:渐近线相同的双曲线有无数条,但它们的实轴长与虚轴长的比值相同. [思考2] 椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样吗? 提示:不一样.椭圆的离心率0<e<1,而双曲线的离心率e>1. 2.直线与双曲线的位置关系 将y=kx+m与-=1联立消去y得一元方程(b2-a2k2)x2-2a2kmx-a2(m2+b2)=0. k Δ的取值 位置关系 公共点个数 k=± 相交 1 k≠± Δ>0 2 Δ=0 相切 1 Δ<0 相离 0 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上.(　√　) (2)若两条双曲线的焦点相同,则其渐近线也一定相同.(　×　) (3)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.(　√　) (4)焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线.(　×　) 2.(2022·山东潍坊高二期末)双曲线方程为-y2=1,则渐近线方程为(　A　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±x D.y=x 3.已知双曲线-=1(b>0)的虚轴长为2,其离心率为　　　　.  答案: 　双曲线的简单几何性质 [例1] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解:双曲线方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长a=, 虚半轴长b=,c=, 焦点坐标为(,0),(-,0), 离心率e===, 顶点坐标为(-,0),(,0), 渐近线方程为y=± x=±x. 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤如下. (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类问题的关键; (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值; (3)由c2=a2+b2求出c值,从而得到双曲线的几何性质. [变式训练1] 若把本例中的双曲线方程改为“9y2-4x2=-36”,试求之. 解:双曲线的方程化为标准形式是 -=1, 所以a2=9,b2=4, 所以a=3,b=2,c=. 又双曲线的焦点在x轴上, 所以顶点坐标为(-3,0),(3,0), 焦点坐标为(-,0),(,0), 实半轴长a=3,虚半轴长b=2, 离心率e==, 渐近线方程为y=±x. 　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 [例2] (1)(2022·贵州遵义高二期末)求与双曲线-=1有共同的渐近线且过点 P(-3,2)的双曲线方程; (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,求双曲线的方程. 解:(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0). 因为点P(-3,2)在双曲线上, 所以-=λ,解得λ=-. 所以所求双曲线方程为-=1. (2)显然双曲线的焦点在x轴上,又易知直线l与x轴交于点(-5,0),所以c=5. 又因为渐近线平行于直线l:y=2x+10, 故=2, 结合c2=a2+b2,得a2=5,b2=20, 所以双曲线的方程为-=1. 由几何性质求双曲线方程的方法如下. 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,常用待定系数法.首先,根据所给的性质,判断焦点的位置,设出双曲线的标准方程,再利用已知构造关于参数的方程(组)求得.当双曲线的焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论.若已知双曲线的渐近线方程为±=0,求双曲线方程时,为避免讨论,减少运算量,可设双曲线方程为-=λ(λ≠0),再根据其他条件确定λ的值. [变式训练2] (1)已知双曲线的焦点在y轴上,实轴长与虚轴长之比为2∶3,且经过点P(,2),求双曲线的方程; (2)已知双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2),求双曲线的方程; (3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6,求双曲线的方程. 解:(1)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).由题意知=. 又因为双曲线过点P(,2),所以-=1. 联立方程组解得 故所求双曲线方程为y2-=1. (2)设所求双曲线方程为-=1(a>0,b>0).