3.2.1 双曲线的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

3.2　双曲线 3.2.1　双曲线的标准方程 1.双曲线的定义 平面上到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|叫作双曲线的焦距. [思考1] 在双曲线的定义中,若去掉“绝对值”,其轨迹还是双曲线吗? 提示:不是,其轨迹是双曲线的一支. [思考2] (1)双曲线定义中,将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”,其他条件不变,点的轨迹是什么? (2)双曲线的定义中,若|MF1|-|MF2|=2a(常数),且2a<|F1F2|,则点M的轨迹是什么? 提示:(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时,动点的轨迹是两条射线,端点分别是F1,F2,当距离之差的绝对值大于|F1F2|时,动点的轨迹不存在. (2)点M的轨迹为双曲线的一支. 2.双曲线的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a,b,c关系 c2=a2+b2 [思考3] 如何根据双曲线标准方程确定焦点位置? 提示:若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为正,则焦点在y轴上. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)在双曲线标准方程-=1中,a>0,b>0且a≠b.(　×　) (2)在双曲线标准方程中,a,b的大小关系是 a>b.(　×　) (3)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　×　) 2.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足 |PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是(　D　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 3.已知双曲线方程中的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为(　C　) A.-=1 B.-=1 C.-=1或-=1 D.-=0或-=0 　双曲线的定义及应用 [例1] 已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16,求点M到另一个焦点的距离; (2)若点P是双曲线上的一点,且 ∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:(1)设|MF1|=16,根据双曲线的定义知||MF2|-16|=6,即|MF2|-16=±6. 解得|MF2|=10或|MF2|=22. 即点M到另一个焦点的距离为10或22. (2)由-=1,得a=3,b=4,c=5. 由双曲线定义和余弦定理得|PF1|-|PF2|=±6, |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°, 所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1||PF2|, 所以|PF1||PF2|=64, 所以=|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2= ×64×=16. 在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用.与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等.另外,在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用. [变式训练1] (1)(多选题)已知定点F1(-2,0),F2(2,0),在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　) A.|PF1|-|PF2|=±2 B.|PF1|-|PF2|=±3 C.|PF1|-|PF2|=±4 D.|PF1|2-|PF2|2=±4 (2)已知定点A的坐标为(1,4),点F是双曲线-=1的左焦点,点P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.  解析:(1)|F1F2|=4,根据双曲线的定义知选AB. (2)由双曲线的方程可知a=2,c=4,设右焦点为F1,则F1(4,0).所以|PF|-|PF1|=2a=4,即|PF|=|PF1|+4,所以|PF|+|PA|=|PF1|+|PA|+4≥|AF1|+4,当且仅当A,P,F1三点共线时取等号,又|AF1|==5,所以|PF|+|PA|≥|AF1|+4=9,即|PF|+|PA|的最小值为9. 答案:(1)AB　(2)9 　双曲线的标准方程 [例2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)过点P(3,),Q(,5)且焦点在坐标轴上; (2)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上; (3)与双曲线-=1有相同的焦点,且经过点(3,2). 解:(1)设所求双曲线的方程为+=1(mn<0). 因为P,Q两点在双曲线上, 所以 解得 所以所求双曲线的标准方程为-=1. (2)因为焦点在x轴上,c=,所以设所求双曲线的方程为-=1(0<λ<6). 因为双曲线过点(-5,2), 所以-=1,