2.7 用坐标方法解决几何问题-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.7　用坐标方法解决几何问题 1.坐标法:在平面直角坐标系中,把点用坐标表示,将直线与圆等曲线用方程表示,通过研究方程来研究图形的性质,这种代数研究方法称为坐标法. 2.坐标法是解析几何中最基本的方法,其思路是:通过建立适当的平面直角坐标系,把几何问题转化为代数问题(或代数问题转化为几何问题),从而利用代数知识(或几何知识)使问题得以解决.坐标法巧妙地把代数、几何融为一体,是数形结合思想的具体体现. 1.下列各组点中,点C位于点D的右侧的是(　A　) A.C(-3)和D(-4) B.C(3)和D(4) C.C(-4)和D(3) D.C(-4)和D(-3) 2.若x轴上的点M到原点与到点(5,-3)的距离相等,则点M的坐标为(　C　) A.(3,0) B.(4,0) C.(3.4,0) D.(5,0) 3.设A为圆C:(x+1)2+y2=4上的动点,PA是圆C的切线,且|PA|=1,则点P的轨迹方程是　　　　　　　　.  答案:(x+1)2+y2=5 　动点的轨迹问题 [例1] 已知△ABC的边AB的长为2a,若边BC的中线为定长m,求顶点C的轨迹方程. 解:由题意,以线段AB的中点为原点,AB边所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(-a,0),B(a,0). 设C(x,y),则线段BC的中点为E(,). 因为|AE|=m, 所以=m, 化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时,不能构成三角形,故去掉曲线与x轴的两个交点,从而所求的轨迹方程是(x+3a)2+y2=4m2(y≠0). 求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的平面直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化简为最简形式. (5)证明:证明以已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 注意:因为除个别情况外,化简过程都是同解变形过程,所以步骤(5)可以不写,如果有特殊情况,可适当予以说明. [变式训练1] AB是圆O的直径,且|AB|=2a,M为圆上一动点,作MN⊥AB,垂足为N,在OM上取点P,使|OP|=|MN|,求点P的轨迹. 解: 以圆心O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(如图),则圆O的方程为x2+y2=a2.设点P的坐标为(x,y),设圆与y轴交于C,D两点,作PQ⊥AB于Q,则=. 因为|OP|=|MN|, 所以|OP|2=|OM|·|PQ|. 所以x2+y2=a|y|,即x2+(y±)2=()2. 所以点P的轨迹是分别以CO,OD为直径的两个圆. 　用坐标法证明几何题 [例2] 已知四边形ABCD是圆M的内接四边形,且AC⊥BD于E,G是DC的中点,MF⊥AB于F.求证:|EG|=|MF|. 证明: 如图,以直线EC为x轴,直线ED为y轴,建立平面直角坐标系,设A,B,C,D的坐标分别为(2a,0),(0,2b),(2c,0),(0,2d),则点G的坐标为(c,d). 因为MF⊥AB,所以|AF|=|FB|. 从而点F的坐标为(a,b). 因为|MA|=|MC|,|MB|=|MD|, 所以点M的坐标为(c+a,d+b).于是 |MF|==, 又|EG|=, 故|EG|=|MF|. 用坐标法证明几何问题,可以避开添加辅助线和逻辑推理论证的麻烦,简便、易行.但要注意考虑如何建立恰当的平面直角坐标系和如何设点的坐标. [变式训练2] 四边形ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在平面内的任意一点,求证:|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2. 证明: 如图,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.设A(0,0),B(a,0),C(a,b),D(0,b),P(x,y), 则|PA|2=x2+y2,|PB|2=(x-a)2+y2, |PC|2=(x-a)2+(y-b)2, |PD|2=x2+(y-b)2. 所以|PA|2+|PC|2=2x2+2y2-2ax-2by+ a2+b2, |PB|2+|PD|2=2x2+2y2-2ax-2by+a2+b2. 故|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2. 1.在数轴上存在一点P,它到点A(-9)的距离是它到点B(-3)的距离的2倍,则点P的坐标为(　D　) A.2　 B.-3 C.5　 D.3或-5 解析:设所求点P的坐标为x,则|x-(-9)|=2|x-(-3)|,所以x=3或x=-5,所以P(3)或P(-5).故选D. 2.已知点P是直线2x-y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是(　D　) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0