2.6.2 圆与圆的位置关系-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.6.2　圆与圆的位置关系 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有六种,分别为外离、外切、相交、内切、内含、同心. 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1,r2(不妨设 r1≤r2),两圆圆心的距离为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 　 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1,r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=r2-r1 0<d<|r1-r2| (2)代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 一元二次方程 [思考1] 如果两个圆没有公共点,那么它们一定外离;如果两个圆只有一个公共点,那么它们一定外切,这种说法是否正确? 提示:这种说法不正确.如果两个圆没有公共点,那么它们外离或内含,这两种位置关系统称为相离;如果两个圆只有一个公共点,那么它们外切或内切,这两种位置关系统称为相切. [思考2] 两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系?能否根据公切线条数判断两圆的位置关系? 提示:两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数,因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系,即当两圆内含、内切、相交、外切、外离时,分别对应的公切线条数为0,1,2,3,4,反之亦成立. [思考3] 将两个相交的非同心圆的方程x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0(i=1,2)相减,可得一直线方程,这条直线方程具有什么样的特殊性呢? 提示:两圆方程相减得一直线方程,它经过两圆的公共点.经过两相交圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(　×　) (2)如果两圆的圆心之间的距离小于两圆的半径之和,则两圆相交.(　×　) (3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　×　) (4)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　×　) (5)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(　×　) (6)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(　√　) 2.圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是(　C　) A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 3.两圆x2+y2=r2与(x-2)2+(y+1)2=r2(r>0)外切,则r的值是(　C　) A. B.5 C. D.2 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　圆与圆的位置关系的判定 [例1] 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0与圆C2:x2+y2+2x=0. (1)当m=1时,圆C1与圆C2是什么关系? (2)当m=4时,圆C1与圆C2是什么关系? (3)若两圆有三条公切线,求实数m的值; (4)是否存在实数m使得圆C1与圆C2内含? 解:(1)当m=1时,两圆的方程分别可化为C1:(x-1)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1, 则两圆的圆心之间的距离为d==2. 又r1+r2=3+1=4,|r1-r2|=|3-1|=2, 所以|r1-r2|<d<r1+r2. 所以圆C1与圆C2相交. (2)当m=4时,两圆的方程分别可化为 C1:(x-4)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+y2=1, 则两圆的圆心之间的距离为 d==. 又因为r1+r2=3+1=4,所以d>r1+r2. 所以圆C1与圆C2外离. (3)圆C1的方程为(x-m)2+(y+2)2=9, 所以圆心为C1(m,-2),半径r1=3, 圆C2的方程为(x+1)2+y2=1, 所以圆心为C2(-1,0),半径r2=1. 当两圆有三条公切线时,它们相外切, 因此|C1C2|=r1+r2,即=4,解得m=-1±2. (4)假设存在实数m使得圆C1与圆C2内含, 则<3-1, 即(m+1)2<0,显然不等式无解. 故不存在实数m使得圆C1与圆C2内含. (1)判断两圆的位置关系,通常采用几何法,而不是用两圆公共点的个数来判断,因为它们之间并不是一一对应关系,如两圆只有一个公共点时,两圆可能内切,也可能外切;两圆没有公共点时,它们可能外离,也可能内含,无法确定是哪一种位置关系. (2)利用几何法判断两圆位置关系可按如下步骤进行: ①计算两圆的半径r1,r2; ②计算两圆的圆心之间的距离d; ③得出d,r1,r2之间的等量(不等量)关系; ④判断两圆的位置关系. [变式训练1] 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0,C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆: (1)相切;(2)相交;(3)相离. 解:对圆C1,C2的方程,经配方后可得 C1:(x-a