2.5.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.5.2　圆的一般方程 圆的一般方程 (1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形. 方程 条件 方程的解 的情况 图形 x2+ y2+Dx+ Ey+F=0 D2+E2- 4F<0 无实数解 不表示任何图形 D2+E2- 4F=0 只有一 个解 表示一个点 (-,-) D2+E2- 4F>0 无数个解 表示以 (-,-) 为圆心,以 为半径的圆 (2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程. [思考1] 所有形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程都表示圆吗? 提示:不是,只有当D2+E2-4F>0时才表示圆. [思考2] 若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,需满足什么条件? 提示:若方程表示圆,则应满足三个条件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0. [思考3] 圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同? 提示:圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程,代数特征明显.圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征明显. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(　√　) (2)圆的一般方程和标准方程可以互化.(　√　) (3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为(-,-a),半径为 的圆.(　×　) (4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则++Dx0+Ey0+F>0.(　√　) 2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　D　) A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 3.方程x2+y2-x+y+k=0表示一个圆,则实数k的取值范围为(　D　) A.(-∞,] B.() C.[,+∞) D.(-∞,) 　圆的一般方程的概念 [例1] 判断下列方程是否表示圆,若是,写出圆心坐标和半径. (1)3x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+xy+1=0; (3)x2+y2+x+2y+1=0; (4)x2+y2-4mx+2my+20m-20=0. 解:(1)由于x2,y2的系数不相等,所以该二元二次方程表示的不是圆. (2)由于该二次方程中含有xy项,所以该二元二次方程表示的不是圆. (3)由于D2+E2-4F=1+4-4>0,所以该二元二次方程表示的是圆. 又由x2+y2+x+2y+1=0可得(x+)2+ (y+1)2=, 所以它表示以(-,-1)为圆心,以为半径的圆. (4)法一　因为D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80= 20(m-2)2, 当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆,此时圆心为(2m,-m), 半径为r==|m-2|. 法二　原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2= 5(m-2)2,当m=2时,它表示一个点; 当m≠2时,原方程表示一个圆,其圆心坐标为 (2m,-m),半径为r=|m-2|. 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤 (1)先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即 ①x2与y2的系数相等; ②不含xy项. (2)当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变形,看右端是否为大于零的常数即可. [变式训练1] (多选题)已知方程x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,则下列选项中a的值能满足方程表示圆的有(　　) A.-1 B.0 C. D.-2 解析:x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0,即方程(x-)2+(y+a)2=1-a-a2,方程表示圆的条件是1-a-a2>0,即-2<a<.所以选项A,B,C能表示圆,选项D表示一个点,不能表示圆.故选ABC. 　求圆的一般方程 [例2] 已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程; (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求实数a的值. 思路点拨:用待定系数法设出圆的一般方程,然后将A,B,C三点坐标代入,求出D,E,F即可. 解:(1)设△ABC的外接圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,由题意得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,因为点M(a,2)在△ABC的外接圆上, 所以a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6. 应用待定系数法求圆的方程 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准