2.5.1 圆的标准方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.5　圆的方程 2.5.1　圆的标准方程 1.圆的标准方程 (1)圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,把它叫作圆的标准方程. (2)特别地,圆心在原点(0,0),半径为r的圆的方程为x2+y2=r2. [思考] 平面内确定圆的要素是什么? 提示:圆心坐标和半径. 2.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d,半径为r. d与r的大小 点与圆的位置 d<r 点P在圆内 d=r 点P在圆上 d>r 点P在圆外 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)圆心位置和圆的半径确定,圆就唯一确定.(　√　) (2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆.(　×　) (3)圆(x+2)2+(y+3)2=9的圆心坐标是(2,3),半径是9.(　×　) (4)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0).(　√　) 2.以点(-,-2)为圆心,为半径的圆的标准方程是(　B　) A.(x-)2+(y-2)2=3 B.(x+)2+(y+2)2=3 C.(x-)2+(y+2)2=3 D.(x+)2+(y-2)2=3 3.已知圆C:x2+y2=9,点A(3,4),则点A与圆C的位置关系是(　C　) A.在圆内 B.在圆上 C.在圆外 D.不确定 　直接法求圆的标准方程 [例1] 求满足下列条件的圆的标准方程. (1)圆心为(2,-2),且过点(6,3); (2)过点A(-4,-5),B(6,-1)且以线段AB为直径; (3)圆心在直线x=2上且与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2). 解:(1)由两点间距离公式得 半径r==, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=41. (2)圆心即为线段AB的中点(1,-3). 又|AB|==2, 所以半径r=. 所以所求圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=29. (3)由圆的几何意义知圆心坐标为(2,-3), 半径r==, 所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=5. (1)直接法求圆的标准方程,就是根据已知条件求出圆心坐标和半径,然后写出标准方程. (2)求圆的圆心坐标与半径时,常利用以下圆的性质. ①圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心; ②圆心到切线之间的距离等于半径; ③圆心与切点的连线长等于半径; ④圆心与切点的连线与切线垂直. [变式训练1] 求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心为(3,4),半径等于; (2)圆心为(1,-3),经过点(-3,-1); (3)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切. 解:(1)圆的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=2. (2)由两点间距离公式可得圆的半径 r==2, 于是圆的标准方程为(x-1)2+(y+3)2=20. (3)圆的半径即为圆心(2,-5)到直线4x-3y-3=0的距离,由于d==4,于是圆的标准方程为(x-2)2+(y+5)2=16. 　待定系数法求圆的标准方程 [例2] 在平面直角坐标系中,求与x轴相交于A(1,0)和B(5,0)两点且半径为的圆的标准方程. 解:设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=5. 因为点A,B在圆上,所以可得到方程组 解得 所以圆的标准方程是(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5. 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤如下. (1)设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据题意,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r的值; (4)将a,b,r代入所设的圆的方程中,即得所求. [变式训练2] 求过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的标准方程. 解:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由已知条件得 解此方程组,得 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 　点与圆位置关系的判定及应用 [例3] (1)圆的直径的两个端点为(2,0),(2,-2),求此圆的方程,并判断A(5,4),B(1,0)是在圆上、圆外,还是在圆内; (2)若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围. 解:(1)由已知得圆心坐标为C(2,-1),半径r=1. 所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=1. 因为|AC|==>1, |BC|==>1, 所以A,B两点都在圆外. (2)由于点P(-2,4)在圆外, 所以有(-2+1)2+(4-2)2>m, 解得m<5. 又方程表示圆,所以m>0, 因此实数m的取值范围是(0,5). 判断点与圆位置关系有以下两种方法. (1)几何法:根据圆心与该点的距离d与圆的半径r的大小关系. (2)代数法:直接利用下