2.1 直线的斜率-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

2.1　直线的斜率 1.直线的倾斜角 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α=0,倾斜角的取值范围是0≤α<π. [思考1] 任意一条直线是否都有倾斜角?倾斜角是否唯一? 提示:都有;唯一. 2.直线的斜率 (1)一条直线的倾斜角α(α≠)的正切值k称为这条直线的斜率,即k=tan α.  (2)若A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,则直线的斜率公式为k=tan α=. [思考2] 斜率公式与两点的顺序有无关系? 提示:无关. 3.斜率和倾斜角的关系 直线 情形 α的 大小 0 0<α< <α<π k的 大小 0 k=tan α 不存在 k=tan α [思考3] 直线的斜率与倾斜角是一一对应的吗? 提示:不是,当倾斜角为时,直线的斜率不存在. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)任意一条直线都有倾斜角,也都有斜率.(　×　) (2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.(　×　) (3)若两条直线的倾斜角相等,则它们的斜率也相等.(　×　) (4)若k是直线的斜率,则k∈R.(　√　) 2.如图所示,直线l的倾斜角为(　C　) A.30° B.60° C.120° D.以上都不对 3.(多选题)下列命题中错误的是(　BCD　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴 D.若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1) 　直线的倾斜角 [例1] (1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° (2)设直线l过坐标原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°,得到直线l1,则直线l1的倾斜角为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.当0°≤α<135°时为α+45°,当135°≤α<180°时为α-135° 解析:(1)如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.故选D. (2)如图①所示,当0°≤α<135°时,l1的倾斜角是α+45°,如图②所示,当135°≤α<180°时,结合图形和倾斜角的概念,即可得到l1的倾斜角为α-135°.故选D. 直线的倾斜角可以看作是由x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的最小正角.所以,在不知道直线上的点的坐标求倾斜角时,往往借助于图形.结合图形求倾斜角时,应注意平面几何知识的应用. 易错警示:不会借助几何图形,就容易遗漏情况. [变式训练1] 设直线l1过原点,其倾斜角α=15°,直线l1与l2的交点为A,且l1与l2向上的方向所成的角为75°,则直线l2的倾斜角为　　　　.  解析:设直线l2的倾斜角为α1, 由图可知,α1=15°+75°=90°, 所以直线l2的倾斜角为90°. 答案:90° 　直线的斜率 [例2] 直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为　　　　　　　　.  解析:设直线l的斜率为k. 如图,因为kAP==1, kBP==-, 所以k∈(-∞,-]∪[1,+∞). 答案:(-∞,-]∪[1,+∞) (1)倾斜角α与斜率k的关系如下. ①当α∈[0,]时,k∈[0,+∞). ②当α=时,斜率k不存在. ③当α∈(,π)时,k∈(-∞,0). (2)斜率的两种求法如下. ①定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率. ②公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率. 易错警示:斜率公式k=适用的前提条件为x1≠x2,因此在含字母的点的坐标中,需计算直线的斜率时,要保证斜率公式有意义. [变式训练2] 已知点A(1,0),B(2,),C(m,2m),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则实数m的值为　　　　.  解析:设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α, 因为tan α==,0°≤α<180°, 所以α=60°,2α=120°, 所以kAC==tan 120°=-, 得m=2-3. 答案:2-3 　斜率与倾斜角的应用 [例3] 已知直线l的倾斜角α=45°,又P1(2,y1),P2(x2,5),P3(3,1)是此直线上的三点,求x2,y1的值. 解:因为α=45°, 所以直线l的斜率k=tan 45°=1. 因为点P1,P2,P3都在直线l上, 所以==1. 所以==1, 解得x2=7,y