1.4 数学归纳法-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（新教材，湘教版）

*1.4　数学归纳法 数学归纳法的概念 在证明一个与正整数有关的命题时,可采用下面两个步骤: (1)证明n=n0(n∈N+)时命题成立; (2)假设n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以知道:对任何从n0开始的正整数n,命题成立,这种证明方法叫作数学归纳法. [思考] 数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1? 提示:不一定.如证明n边形的内角和为(n-2)·180°时,n0的初始值为n0=3. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.(　×　) (2)所有与正整数有关的命题都可以用数学归纳法证明.(　×　) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设一定要用上.(　√　) (4)用数学归纳法不能证明不等式问题.(　×　) 2.用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3,n∈N+)时,第一步验证(　C　) A.n=1 B.n=2 C.n=3 D.n=4 3.某命题与自然数有关,如果当n=k(k∈N+)时该命题成立,则可推得n=k+1时该命题也成立,现已知当n=5时该命题不成立,则可推得(　C　) A.当n=6时,该命题不成立 B.当n=6时,该命题成立 C.当n=4时,该命题不成立 D.当n=4时,该命题成立 4.用数学归纳法证明“12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)(n∈N+)”时,从n=k(k∈N+)到n=k+1,左边应增添的式子为　　　　.  答案:(k+1)2 　数学归纳法的概念 [例1] 设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足当f(k)≥k+1成立时,总能推出f(k+1)≥k+2成立,那么下列命题总成立的是(　　) A.若f(1)<2成立,则f(10)<11成立 B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有 f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有 f(k)≥k+1成立 答案:D (1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1. (2)递推是关键:正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障. [变式训练1] (多选题)下列四个判断中,错误的有(　　) A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+),当n=1时为1 B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+),当n=1时为1+k C.式子+++…+(n∈N+),当n=1时为1++ D.设f(n)=++…+(n∈N+),则f(k+1)=f(k)+++ 解析:选项A中,n=1时,式子应为1+k;选项B中,n=1 时,式子应为1;选项D中,f(k+1)=f(k)+++-.故选ABD. 　用数学归纳法证明等式 [例2] 用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(其中n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时等式成立, 即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)= k(k+1)2, 那么当n=k+1时,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)= (k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立. 根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N+都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明 n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. [变式训练2] 证明:当n≥2,n∈N+时,(1-)(1-)(1-)…(1-)=. 证明:(1)当n=2时,左边=1-=,右边==. 所以当n=2时,等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立,即 (1-)(1-)(1-)…(1-)=, 则当n=k+1时,(1-)(1-)…(1-)·[1-]=[1-]=·==. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)知,对任意n≥2,n∈N+等式成立. 　用数学归纳法证明几何问题 [例3] 平面内有n个圆,任意两个圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这n个圆将平面分成f(n)=n2-n+2个部分(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,一个圆将平面分成两个部分,且f(1)=1-1+2=2,所以n=1时命题成立. (2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立, 即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个