寒假作业01 一元二次方程与实际运用（20道经典题型+4道中考真题）-【寒假分层作业】2024年九年级数学寒假培优练（人教版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业01 一元二次方程与实际运用 1.一元二次方程的概念：只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为(a、b、c为常数）的形式，这样的方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是(a、b、c为常数），其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的未知数的值称为一元二次方程的解（根）. 4.一元二次方程的解法：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法. 因式分解的主要方法：提取公因式法、乘法公式、十字相乘法. 5.一元二次方程根的判别式(=b2－4ac)：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程没有实数根. 6.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则，. 注意：对于而言，当满足且时，才能用韦达定理. 7.列一元二次方程解应用题的一般步骤 ①根据题意和实际问题涉及的类型，建立等量关系式；②以利于表示等量关系式为原则，设未知数x； ③依据等量关系式和未知数x建立方程；④解方程并解答. 注：一元二次方程通常有两解，但是，应检验方程的两个根是否都符合实际情况. 8.一元二次方程应用题常见类型： ①面积问题；②平均变化率问题；③销售利润问题；④传播问题；⑤循环问题；⑥数字问题. 1．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，其中一元二次方程的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2. 已知m是方程x2﹣3x﹣2＝0的根，则代数式1+6m﹣2m2的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3 3．下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（　　） A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1 C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0 4．已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是（ ） A． B． C．3 D． 5．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在用长为的材料砌墙，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为，则的长度为（ ） A．15m B．10m C．10m或15m D．12.5m 6．我国古代数学专著《增减算法统宗》中记载“圆中方形”问题，其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外，圆内可耕地的面积恰好为72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．新型冠状病毒 (COVID-19)是一种传染性极高的病毒，它可以通过飞沫、接触，甚至是有病毒株的污染源传播．在M市人群密集区因缺乏必要的预防措施，某新冠肺炎零号病人一天能传染人，如果统计得到两天内共有225人因此患病，求平均每天一人传染了人．列出方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知是方程的两个实数根，则代数式______． 9．解下列一元二次方程： （1）； （2）； （3）； （4）. 10. 已知关于x 的一元二次方程x2 -5x + m = 0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足3x1-2x2 =5，求实数m的值． 11．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同，共有多少家公司参加商品交易会？设共有x家公司参加商品交易会． （1）用含x的代数式表示： 每家公司与其他　　 家公司都签订一份合同，由于甲公司与乙公司签订的合同和乙公司与甲公司签订的合同是同一份合同，所以所有公司共签订了　　 份合同； （2）列出方程并完成本题解答． 12．设方程有两个根和，且，那么方程的较小根的范围为　　 A． B． C． D． 13．已知，是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根. （1）直接写出m的取值范围； （2）若，满足，求m的值； （3）若，求证：. 14．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0． （1）若x＝1是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根； （2）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根； （3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长． 15．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式， 例如：x2﹣8x+1