3.4 曲线与方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.4　曲线与方程 基础巩固 1.设方程f(x,y)=0的解集非空,如果命题“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下列命题正确的是(　D　) A.坐标满足方程f(x,y)=0的点都不在曲线C上 B.曲线C上的点的坐标都不满足方程 f(x,y)=0 C.坐标满足方程f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上 D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 解析:“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,即“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在,有的不在”两种情况,故A,C错误.B显然错误.故选D. 2.(多选题)下列命题中,不正确的有(　ABC　) A.方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距是2的直线 B.△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线AO的方程是x=0 C.到x轴的距离为5的点的轨迹方程是 y=5 D.曲线2x2-3y2-2x+m=0通过坐标原点的充要条件是m=0 3.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　A　) A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 解析:方程2x2+2y2-4x+8y+10=0可化为x2+y2-2x+4y+5=0,即(x-1)2+ (y+2)2=0,所以方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1,-2).故选A. 4.已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点A(0,-1)与点P连线的中点M的轨迹方程是(　C　) A.y=2x2 B.y=8x2 C.2y=8x2-1 D.2y=8x2+1 解析:设点M(x,y),则点P(2x,2y+1). 因为点P在曲线2x2-y=0上, 所以2·(2x)2-(2y+1)=0, 即8x2-2y-1=0, 即2y=8x2-1.故选C. 5.方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示的图形是　　　　.  解析:由方程得表示4个点. 答案:4个点 6.已知方程①x-y=0;②-=0;③x2-y2=0;④=1,其中能表示平面直角坐标系的第一象限的角平分线C的方程的序号是　　　　.  答案:② 7.方程2x2+y2-4x+2y+3=0表示什么曲线? 解:方程的左边配方得2(x-1)2+(y+1)2=0, 而2(x-1)2≥0,(y+1)2≥0, 所以所以 所以方程表示点(1,-1). 8.一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程. 解:设动点P(x,y), 由题意,得|x-8|=2, 两边平方可得x2-16x+64=4x2-16x+16+4y2, 整理得+=1. 所以动点的轨迹方程为+=1. 9.已知圆C的方程为x2+y2=4,过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m,设m与y轴的交点为N,若向量=+,求动点Q的轨迹 方程. 解:设点Q的坐标为(x,y),点M的坐标为(x0,y0),则点N的坐标为(0,y0). 因为=+, 即(x,y)=(x0,y0)+(0,y0)=(x0,2y0), 则x0=x,y0=. 又点M在圆C上, 所以+=4, 即x2+=4. 所以动点Q的轨迹方程是+=1. 能力提升 10.下列方程与图形中曲线对应正确的项是(　D　) 解析:对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,曲线上第三象限内的点,由于x<0,y<0,不满足方程,排除C.故选D. 11.已知定点P(x0,y0)不在直线l:f(x,y)=0上,则方程f(x,y)- f(x0,y0)=0表示(　B　) A.过点P且垂直于l的直线 B.过点P且平行于l的直线 C.不过点P但垂直于l的直线 D.不过点P但平行于l的直线 12.已知点M到x轴的距离和点M与点 F(0,4)的距离相等,则点M的轨迹方程为　　　　　.  解析:设动点M的坐标为(x,y),且点M到x轴的距离为d,则d=|y|.由距离公式得|y|=,整理得x2-8y+16=0,即y=x2+2. 故所求点M的轨迹方程是y=x2+2. 答案:y=x2+2 13.观察下列表格中的三组方程与曲线,说出它们之间的关系: 序号 (1) (2) (3) 方程 y=x x= x2+y2=1 曲线 (1)　 ;  (2)　 ;  (3)　 .  答案:(1)曲线是方程所表示的曲线的一部分 (2)方程所表示的曲线是图中曲线的