3.2.2 双曲线的简单几何性质-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

3.2.2　双曲线的简单几何性质 基础巩固 1.双曲线-y2=1的离心率为(　D　) A. B. C. D. 解析:根据题意得a=2,b=1, 故c==,e==. 故选D. 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(　A　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:双曲线-=1的渐近线方程为bx±ay=0.又因为离心率为= =,所以a2+b2=3a2,所以b=a(a>0,b>0).所以渐近线方程为ax±ay=0,即y=±x.故选A. 3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且其右焦点为F2(2,0),则双曲线C的方程为(　A　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,且其右焦点为F2(2,0), 可得c=2,a=,所以b=3, 所以双曲线C的方程为-=1.故选A. 4.若a>1,则双曲线-y2=1的离心率的取值范围是(　C　) A.(,+∞) B.(,2) C.(1,) D.(1,2) 解析:由题意得双曲线的离心率e=, 即e2==1+. 因为a>1,所以0<<1, 所以1<1+<2,所以1<e<.故选C. 5.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-,则此双曲线的离心率为　　　　. 解析:由双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为-, 可得=,所以=, 所以=,所以e==. 答案: 6.若双曲线mx2-y2=1的渐近线方程为y=±2x,则m=　　　　;焦点F到渐近线的距离为　　　　. 解析:由双曲线的方程知m>0, 由mx2-y2=0得渐近线方程为y=±x. 因为双曲线的渐近线方程为y=±2x, 所以=2,得m=4. 则双曲线的焦点F的坐标为(±,0), 所以焦点F到渐近线的距离为=1. 答案:4　1 7.求满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)两渐近线方程为y=±x,且经过点(,-1); (2)以椭圆+=1的焦点为焦点,以直线y=±x为渐近线. 解:(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x, 所以可设双曲线方程为-=λ(λ≠0), 将点(,-1)代入方程,得λ=2, 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)双曲线的焦点为(±,0), 设所求的双曲线方程为-y2=λ(λ>0), 所以c2=4λ+λ=10,解得λ=2. 故所求的双曲线的标准方程为-=1. 8.设双曲线-=1(0<a<b)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知坐标原点到直线l的距离为c,求双曲线的离心率. 解:直线l的方程为+=1, 即bx+ay-ab=0. 于是有=c, 所以ab=c2,两边平方得a2b2=c4. 又b2=c2-a2, 所以16a2(c2-a2)=3c4, 两边同时除以a4,得3e4-16e2+16=0, 解得e2=4或e2=. 又b>a,所以e2==1+>2,则e=2. 于是双曲线的离心率为2. 9.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1. (1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围; (2)若直线l与双曲线C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值. 解:(1)联立方程组 消去y并整理得(1-k2)x2+2kx-2=0. 因为直线与双曲线有两个不同的交点, 则满足条件 解得-<k<,且k≠±1. 所以若直线l与双曲线C有两个不同交点,实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 对于(1)中的方程(1-k2)x2+2kx-2=0, 由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2| =· =. 又因为点O(0,0)到直线y=kx-1的距离d=, 所以S△AOB=·|AB|·d = =, 即2k4-3k2=0. 解得k=0或k=±. 所以实数k的值为±或0. 能力提升 10.若实数k满足0<k<5,则曲线-=1与曲线-=1的(　D　) A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 解析:由于16+(5-k)=(16-k)+5,所以两曲线的焦距相等.故选D. 11.(多选题)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的中心为坐标原点,焦点在y轴上,一条渐近线的方程为x-2y=0,则它的(　AD　) A.离心率为 B.离心率为 C.两渐近线的夹角为60° D.两渐近线的夹角的正切值为 解析:由题意知,这条渐近线的斜率为, 即=,所以离心率e====. 渐近线的倾斜角α的正切值为tan α=,故两渐近线夹角的正切值为tan 2α==.故选AD. 12.直线l与双曲线x2-4y2=4相交于A,B两点,若点P(4,1)为线段A