2.5.2 圆的一般方程-【导与练】2023-2024学年高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（新教材，湘教版）

2.5.2　圆的一般方程 基础巩固 1.圆2x2+2y2+6x-4y-3=0的圆心坐标和半径分别为(　C　) A.(-,1)和 B.(3,2)和 C.(-,1)和 D.(,-1)和 解析:圆2x2+2y2+6x-4y-3=0可化为x2+y2+3x-2y-=0, 即(x+)2+(y-1)2=. 故选C. 2.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)关于直线y=x对称,则有(　B　) A.D+E=0 B.D=E C.D=F D.E=F 解析:由圆的对称性知,圆心在直线y=x上,故有-=-,即D=E.故选B. 3.已知方程x2+y2+2x-m=0,下列叙述正确的是(　BCD　) A.方程表示的是圆 B.当m=0时,方程表示过原点的圆 C.方程表示的圆关于直线x+y+1=0对称 D.方程表示的圆的圆心在x轴上 解析:方程x2+y2+2x-m=0, 配方得(x+1)2+y2=m+1, 因为方程表示一个圆, 所以m+1>0, 从而m>-1,A错误,B正确; 方程表示圆时,圆心为(-1,0),在直线x+y+1=0上,C,D正确.故选BCD. 4.(多选题)由方程x2+y2+x+(m-1)y+m2=0所确定的圆的面积不能为(　ACD　) A.π B.π C.π D.2π 解析:所给圆的半径为r==. 所以当m=-1时,半径r取得最大值,此时圆的最大面积是π. 故选ACD. 5.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A,点P在圆上,则PA的中点M的轨迹方程是　 .  解析:设点M的坐标为(x,y), 由题意可知圆心A为(2,-1),P(2x-2,2y+1)在圆上, 故(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0 6.(2022·浙江慈溪期中)圆C:x2+y2-8x-2y=0的圆心坐标是　　　;关于直线l:y=x-1对称的圆 C′的方程为　 .  解析:根据题意,圆C:x2+y2-8x-2y=0的标准方程为(x-4)2+(y-1)2=17, 其圆心的坐标为(4,1). 设圆C′的圆心为(m,n),则有 解得圆C′的半径r=, 则圆C′的方程为(x-2)2+(y-3)2=17. 答案:(4,1)　(x-2)2+(y-3)2=17 7.已知圆心为C的圆经过点A(1,0),B(2,1),且圆心C在y轴上,求此圆的一般方程. 解:设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 因为圆心C在y轴上,所以D=0. 又因为点A(1,0),B(2,1)在圆上, 所以解得 所以所求圆的一般方程为x2+y2-4y-1=0. 8.已知圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,点Q(-2,3). (1)点P(a,a+1)在圆上,求线段PQ的长及直线PQ的斜率; (2)若M为圆C上任一点,求|MQ|的最大值和最小值. 解:(1)因为点P(a,a+1)在圆上, 所以a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, 所以a=4,则点P(4,5), 所以|PQ|==2,kPQ==. (2)因为圆心C的坐标为(2,7), 所以|QC|==4, 圆的半径是2,点Q在圆外, 所以|MQ|max=4+2=6, |MQ|min=4-2=2. 9.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)求这个圆的圆心坐标和半径; (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 解:(1)圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2. 由7t2-6t-1<0得-<t<1. 故t的取值范围是(-,1). (2)由(1)知圆的圆心坐标为(t+3,4t2-1),半径为. (3)r==≤. 所以r的最大值为,此时t=, 圆的标准方程为(x-)2+(y+)2=. 能力提升 10.若a∈{-2,0,1,3},则方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0表示的圆的个数为(　C　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:由(3a)2+a2-4(a2+a-1)>0,得a<1,满足条件的a只有-2与0,所以方程x2+y2+3ax+ay+a2+a-1=0表示的圆的个数为2.故选C. 11.若圆经过两点(2,0)和(0,-4),且圆心在直线y=-x上,则圆的一般方程为　 .  解析:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 依题意得解得 所以圆的一般方程是x2+y2-6x+6y+8=0. 答案:x2+y2-6x+6y+8=0 12.已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称