检测评价19 圆的一般方程（Word练习）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

5 / 5 “四翼”检测评价（十九） 圆的一般方程 (一)基础落实 1．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是(　 ) A．m<1 B．m>1 C．m< D.<m<1 解析：选A　方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是42＋(－2)2－4×5m>0，解得m<1.故选A. 2．如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有(　 ) A．D＋E＝0 B．D＝E C．D＝F D．E＝F 解析：选B　由圆的对称性知，圆心在直线y＝x上，故有－＝－，即D＝E.故选B. 3．(多选)已知圆x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有(　 ) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 解析：选ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，所以圆心的坐标为(2,0)，半径为.圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，直线x＋3y－2＝0过圆心，直线x－y＋2＝0不过圆心，故B、C正确，D不正确．故选A、B、C. 4．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4<a<0，故该圆的圆心在第四象限．故选D. 5．已知圆C：x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0(m∈R)，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为(　 ) A. B．6 C.－1 D.＋1 解析：选D　由x2＋y2＋2x－2my－4－4m＝0得(x＋1)2＋(y－m)2＝m2＋4m＋5，因此圆心为C(－1，m)，半径r＝＝≥1，当且仅当m＝－2时，半径最小，则面积也最小，此时圆心为C(－1，－2)，半径r＝1，因此圆心到坐标原点的距离d＝＝＞r，即原点在圆C外，所以圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d＋r＝＋1.故选D. 6．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F的值为______． 解析：因为方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆， 所以解得 所以F的值为4. 答案：4 7．若圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，则当圆面积最大时，圆心坐标为________. 解析：将圆的方程配方得2＋2＝－k2＋1，由r2＝－k2＋1>0， ∴rmax＝1，此时k＝0.∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1) 8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，则圆C的一般方程为______________． 解析：因为圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心C在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，　　　　　① 又r＝ ＝，所以D2＋E2＝20，②联立①②可得或 又圆心在第二象限，所以－<0，D>0， 所以故所求的圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 答案：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 9．设△ABC的顶点坐标是A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a>0，圆M为△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由． 解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，∴解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a.∴圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0. (2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.由解得x＝0，y＝－3. ∴圆M过定点(0，－3)． 10．已知实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值． 解：已知方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，则此方程表示圆，且圆心C的坐标为(3,3)，半径长r＝2.又x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2.它表示圆上的点P(x，y)到E(－1,0)的距离的平方再加2.所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，显然点P与点E距离的最大值为|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|CE|－2.又因为|CE|＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为51，最小值为11. (二)综合应用 1．“m>”是“x2＋y2－2mx－m2－5m＋