2024届高三艺术生数学一轮复习-排列组合讲义

9.1 排列组合 一、两个计数原理 1、分类加法计数原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在第二类办法中有m种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m十m十…十mn种不同的方法。 2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m·m·m…mn种不同的方法。 3、“类”和“步”的区别在于：“类”和“步”之间是相互独立的，互不影响，每一类都可以单独完成任务；“步”和“步”之间是相互依存的，相互影响的，每一步不能单独完成任务。 二、排列 1、排列的定义：从n个不同元素中，任取m (mn)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2、不同的排列的定义：元素和顺序至少有一个不同. 3、相同的排列的定义：元素和顺序都相同的排列. 4、排列数的定义：从n个不同元素中，任取m (mn)个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号表示。 5、排列数公式 ：＝n（n－1）…（n－m+1）＝（n，m,且mn） n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n! (叫做n的阶乘) 规定:0!＝1 三、组合 1、组合的定义：从n个不同元素中，任取m (mn)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取 出m个元素的一个组合. 2、组合数：从n个不同的元素中取出m (mn)个元素的所有组合的个数，用符号C表示. 3、组合数公式： C＝＝＝(n，m，且mn) 规定:C＝1，0!＝1 这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算，注意公式的逆用，即由＝C 4、组合数性质：(1) C＝ C ； (2)C+ C=C 5、要弄清排列和组合的区别和联系：有序排列，无序组合 一、简单问题直接法：直接利用两个计数原理，直接进行排列组合解答. 【例1】有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（ ） A.1260种 B.2025种 C.2520种 D.5040种 【解析】(1)先从10人中选出2人承担甲项任务，有种方法；再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，有种方法；第三步从另外的7人中选1人承担而项任务，有种方法．根据乘法分步原理得不同的选法共有= 2520种，故选C. 【变式探究1】 （1）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ） A．种 B． 种 C．A种 D．种 （2）有三只口袋装有小球，一只装有5个白球，一只装有6个黑球，一只装有7个红球，若三种颜色的球各取一个，有________种不同的取法. （3）5本不同的书，分给4人，不同的分法的种数是（ ） A. 　　B. 　C.54 　D.45 二、特殊元素优先法：优先考虑一些特殊的元素和位置. 【例2】由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 【解析】由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C种方法，然后排首位共有C种方法，最后排其它位置共有A种方法，由分步乘法原理得共有CCA＝288种方法. 【变式探究2】 （1）由0,1,2,3,4,5可以组成 个没有重复数字五位奇数. （2）从1，3，5三个数中选两个数字，从0，2两个数中选一个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 （3）从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）种. A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 （4）有3名男生，4名女生，全体排成一行，若甲不在最左边，乙不在最右边，则有 种不同的排列方法；若甲、乙均不排两端，则有 种不同的排列方法． 三、相邻元素捆绑法：先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列. 【例3】张、王两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这六人的入园顺序排法种数为(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 【解