2024届高三数学二轮复习培优练24：凹凸反转

培优练24 凹凸反转 一、基本技能练 1.(2023兰州模拟节选)/(x)=ex2-xnx,证明：当x>0时，x)xer+le. 2.已知函数fx)=x2十2x-2re. (1)求函数x)的极值： (2)当x>0时，证明x)-2x+x2+x3<-2elnx. 3.设函数x)=lnx十1x一x,证明：jx)-lex十>0在(0，十∞)上恒成立. 二、创新拓展练 4.(2023·南通模拟改编)设函数x)=nx一e1-x,g(x)=ca(x2-1)一1x.若x)g(x)在 (1,十∞)恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案 l.证明要证Ax)xer-+le, 只需证ex一In x<er-+lex, 即ex-ex<nx+lex, 令hx)=nx+1ex(>0),则h(x)=er一ler2, 易知h(x)在ias4 alcol(0,yle)上单调递减，在ias4 alcol(ffle),+oo)上单调 递增，则h(x)nmim=halvs-4 alcoloffle))=0, 所以lnx+lex之0， 再令p(x)=er一e'(心0)，则p'(x)=e一c 当0<<1时，p'x)>0,当1时，'(x0, 即px)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减， 则gp(x)mx=gp(1)=0, 所以ex-e≤0， 因为hx)与p(x)不同时为0， 所以ex一ex<nx十lex,故原不等式成立. 2.(1)解.fx)=x2+2x-2e, ∴.fx)=2x+2-2er-2e =(2x+2)1-e), 由f(x)=0,得x=一1或x=0. 列表讨论，得： x (-0,-1) -1 (-1,0) 0 (0,+∞) f(x) 0 0 Ax) 极小值 极大值 ∴.当x=一1时，x)极小值=（一1）=1一2十 2x1e=2e-1, 当x=0时，x)极大值=0)=0. (2)证明要证明x)-2x十x2+x3<-2elnx 即证明2cr一x2-2x>2enxx(>0), 令g(x)=2er-x2-2x(>0), h(x)=2eln xx(x-0), g(x)=2(e-x-1),g"(x)=2(ex-1)P0, ·g(x)在(0，十o)上单调递增，g(x)Pg(0)=0, ∴·g(x)在(0，十o)上单调递增，g(x)>g(0)=2, h(x)=2e(1一mx)x2,可得hx)在(0，e)上递增，在(e,十oo)上递减，∴.x)h (e)=2, 又g(x)与(x)取最值点不同， ·g(x)>h(x)在(0，+o)恒成立， 所以当x0时，fx)-2x十x2+x3<-2elnx 3.证明由题意知， Ax)-lex+x=In x+Ix-lex, 下面证lnx十1x-lex,即证xnx十l>xex, 设g(x)=xlnx+l,则g'c)=1十nx 在lavs4 alcol(0,f1e》上，g'(x)0,g(x)单调递减： 在lavs4 alcol(f1e,+oo上，gx0,g)单调递增. 所以g(x)≥glalvs4 al col(f1e)=1-le, 设h(x)=xex,则hH(x)=1一xex, 在(0,1)上，(x)>0,(x)单调递增： 在(1，十o)上，(x)0,h(x)单调递减， 所以hx)3h1)=1e<1-le, 所以h(x)g(x), 即x)-1ex+心0在(0，+o)上恒成立. 4.解由题意得：lnx一eex<a(x2-l)-x, 问题等价于a(x2-1)一ln>lx一eex在(1，+o)恒成立， 设k(x)=lxr一eex=er一exxex, 若记w)=e-e,则'(x)=ex-e, 当心1时，1'(x)0,k1(x)在(1，+oD)上递增，k1(xk1(1)=0,即k)>0. 若a0,由于1， 故a(x2-1)-lnx0,故x)Pg(x), 即当xg)在(1，十o)恒成立时，必有a心>0. 当a0时，设h(x)=a(x2-1)-lnx, 则h(x)=2ax2-1x, ①若1rM2a>1,即0<a<12时， 易得x∈las4 alcol(1,1r2a,hx)单调递减， x∈lalvs-4 alcol(f1r2a),+o,h(x)单调递增， hlalvs4allcol(flr(2a)))<h(1)=0,klalvs4allcol(lr(2a)))-0, 即存在x=1r(2a>1,使得x)>g(x), 故0<a<12时，x)g(x)不恒成立； ②若1r2a1,即a212时， 设s(x)=ax2-l)一lnx-1x+eex, s'(x)=2ax-Ix+Ix2-eex, 由于2a2x,且(x)=er-ex>0, 即eer<1x,故-eer>-1x, 因此s'(x)>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2=(x-1）2x2>