精品解析：北京市海淀区北大附中预科部2024届高三上学期12月阶段练习数学试题

北大附中预科部2023—2024学年度阶段练习 数学 2023.12 本试卷共5页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则共轭复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，是互相不重合的直线，，，是互相不重合的平面，则在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数，则（ ） A. 在单调递减 B. 在单调递增 C. 在单调递减 D. 在单调递增 6. 已知向量，，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线：的焦点为，，两点在上，，，则直线斜率的最小值和最大值分别是（ ） A. ， B. ，2 C. ， D. ，2 8. 已知无穷等差数列的前项和为，公差为，则“”是“，，都有恒成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11 已知函数，则______. 12. 已知双曲线的焦点为和，离心率为，则的方程为______. 13. 若和均为等比数列，且（），能使数列是递增的等比数列的一组和的通项公式为______，______. 14. 函数，其中且，若函数是单调函数，则的一个取值为______，若函数存在极值，则的取值范围为______. 15. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论： ①是上的增函数； ②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”； ④，输入会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知圆：，若圆上存在两点关于直线：对称. （1）求圆半径； （2）过点的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程. 18. 在中，，. （1）求的大小； （2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； （3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分 19. 已知椭圆：（）的四个顶点相连构成菱形，且点A，的坐标分别为，. （1）求椭圆的方程和离心率； （2）设为第一象限内上的动点，直线与直线交于点，过点且垂直于的直线交轴于点，求的取值范围. 20. 已知函数（）. （1）若，求在处的切线方程； （2）若为的极大值点，求的取值范围； （3）若存在最小值，直接写出的取值范围. 21. 已知为所有元有序数组所组成的集合.其中（）. 对于中任意元素，定义，的距离： 若，为的子集，且有个元素，并且满足任意，都存在唯一的，使得，则称为“好集”. （1）若，，，，，，求，及的值； （2）当时，求证：存在“好集”，且“好集”中不同元素的距离为5； （3）求证：当时，“好集”不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$