专题07 圆与母子型相似结合型：切割线定理反A模型压轴题专题-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题07 圆与母子型相似：切割线定理反A模型压轴题专题 切割线定理：反A模型 图形 相似的证明 结论 因为 ∽ ①; ② 1．（北雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求BE的长． 2．（南雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长． 3.（长郡）已知：如图，⊙的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连结． （1）求证：是⊙的切线． （2）求证：． （3）若，，求直径的长． 4．（明德）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F． （1）求证：直线DE与⊙O相切； （2）若EB＝2，EC＝4，求⊙O的半径及AC、AD的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 5．（雅礼）如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，且EF＝ED． （1）求证：DE是⊙O的切线 （2）若tanA＝，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明； （3）在（2）的条件下，若OF＝1，求⊙O的半径和CD的长． 6．（青竹湖）如图，已知AB是⊙O的直径，直线AC与⊙O相切于点A，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）求证：DE2＝EB•EA； （3）若BE＝1，，求线段AD的长度． 7．（北雅）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G． （1）求证：BC∥FG； （2）探究：PE与DE和AE之间的关系； （3）当图①中的FE＝AB时，如图②，若FB＝3，CG＝2，求AG的长． 8．（青竹湖）如图，⊙O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC于点E，交⊙O于点F，连接DC，点C为弧DF的中点． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，DF＝4，求CE•CA的值； （3）在（2）的条件下，连接AF，若BD＝AF，求AD的长． 9．（麓山国际）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：PC＝PF； （3）若tan∠ABC＝，AB＝14，求线段PC的长． 10．（青竹湖）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinB＝，求CD和AD的长； （3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 圆与母子型相似：切割线定理反A模型压轴题专题 切割线定理：反A模型 图形 相似的证明 结论 因为 ∽ ①; ② 1．（北雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝，求BE的长． 【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°， 又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵EB为⊙O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°， ∴∠ABD＝∠OEB，∴∠CDA＝∠OEB．而tan∠CDA＝，∴tan∠OEB＝＝，∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴＝＝＝，∴CD＝×6＝4，在Rt△CBE中，设BE＝x，∴（x+4）2＝x2+62， 解得x＝． 2．（南雅）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10，，求BE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵CD2＝CA•CB，∴，∵∠C＝∠C，∴△DCA∽△BCD