热点7-4 抛物线及其应用（6题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点7-4 抛物线及其应用 抛物线是高考数学的热点问题，在高考中选择题、填空题、解答题都曾出现过，属于高频考点。这部分内容主要涉及标准方程、几何性质、弦长问题及面积问题等，解题思路和解题步骤相对固定，在冲刺阶段的教学过程中尽量淡化解题技巧，强调通性通法，规范解题步骤。 【题型1 抛物线的定义及概念辨析】 满分技巧 1、利用抛物线的定义解决问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．即“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”． 2、注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. 【例1】（2023·广东广州·高三天河中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ） A． B． C．2 D．1 【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）动点P到直线的距离减去它到点的距离等于2，则点P的轨迹是（ ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式1-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则直线的斜率为（ ） A． B． C．1 D． 【变式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测）设O为坐标原点，F为抛物线C：的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，若，则抛物线C的准线方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【变式1-4】（2023·河南·校联考二模）设F为抛物线的焦点，点M在C上，点N在准线l上，且平行于x轴，准线l与x轴的交点为E，若，则梯形的面积为（ ） A．12 B．6 C． D． 【题型2 利用定义求距离和差最值】 满分技巧 与抛物线有关的最值问题的转换方法 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 【例2】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式2-1】（2023·江西萍乡·高三统考期末）点为抛物线上任意一点，点为圆 上任意一点，为直线的定点，则的最小值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ． 【变式2-3】（2023·广西·统考模拟预测）已知抛物线：的焦点为，圆：，点，分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-4】（2023·湖北孝感·校联考模拟预测）设P为抛物线C：上的动点，关于P的对称点为B，记P到直线的距离分别，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【题型3 抛物线标准方程的求解】 满分技巧 1、定义法：根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． 2、待定系数法 （1）根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程； （2）当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，若开口方向不确定需分为y2＝－2px(p>0)和y2＝2px(p>0)两种情况求解． 另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)． 【例3】（2023·北京·北京四中校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中学校考阶段练习）已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且，若点的坐标为，且，则的方程为（ ）