3.1.3函数的奇偶性第三课时导学案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

学科 数学 年级 高一 时间 年 月 日 课题 3.1.3函数的奇偶性的应用 课型 新授课 课时 第3课时 主备教师 学习目标 1.掌握用函数奇偶性求函数解析式的方法。 2 .理解奇偶性对单调性的影响并能用其比较大小，求最值和解不等式。 1、 知识填空 1.奇函数的单调性 若f(x)为奇函数且在区间[a，b](0<a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为增函数(减函数)，即在关于原点对称的区间上单调性 ． 2.偶函数的单调性 若f(x)为偶函数且在区间[a，b](0<a<b)上为增函数(减函数)，则f(x)在[－b，－a]上为减函数(增函数)，即在关于原点对称的区间上单调性 ． 3.偶函数的重要性质 若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 2、 预习自测 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．(　　) 2．若对f(x)定义域内任意的x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图像关于直线x＝对称．(　　) 3．若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.(　　) 4．若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数．(　　) 3、 典例探究 题型一：利用函数的奇偶性求解析式 例1：已知 【练】若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 例2：已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数， 【练】设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝2x＋x2，求函数f(x)，g(x)的解析式． 题型二：单调性与奇偶性的综合应用一：比较大小 例3：已知f(x)是偶函数，对任意的x1，x2∈(－∞，－1]，都有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0，则下列关系式中成立的是(　　) A．<f(－1)<f(2) B．f(－1)<<f(2) C．f(2)<f(－1)< D．f(2)<<f(－1) 【练】定义域为R的函数f(x)满足以下条件： (1)对于任意x∈R，f(x)＋f(－x)＝0； (2)对于任意x1，x2∈[1,3]，当x2>x1时，有f(x2)>f(x1)>0. 则以下不等式不一定成立的是(　　) A．f(2)>f(0) B．f(2)>f(1) C．f(－3)<f(－1) D．f(4)>f(2) 题型三：单调性与奇偶性的综合应用一：解不等式 例4：已知函数y＝f(x)在定义域[－1,1]上是奇函数，且是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围。 【练】定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 【练】已知定义在(－1,1)上的函数f(x)＝. (1)试判断f(x)的奇偶性及在(－1,1)上的单调性； (2)解不等式f(t－1)＋f(2t)<0. 4、 方法总结 利用函数奇偶性求函数解析式的步骤 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； (2)把x对称转化到已知区间上，代入已知区间上的解析式； (3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x)． 比较大小的求解策略 (1)若自变量在同一单调区间上，则可直接利用函数的单调性比较大小； (2)若自变量不在同一单调区间上，则需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 1．解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性． 2．解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)求解，要注意函数定义域对参数的影响． 学科网（北京）股份有限公司 $$