3.1.3函数的奇偶性第二课时（2）导学案 (2)-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

学科 数学 年级 高一 时间 年 月 日 课题 3.1.3函数的奇偶性的应用 课型 新授课 课时 第2课时 主备教师 学习目标 1.结合具体函数，了解奇偶性的几何意义及图像的特征； 2 .利用函数图像的特征及定义进行应用：补全图像求函数的值等。 1、 知识填空 1、偶函数的定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 ，则称y＝f(x)为偶函数． 2、偶函数的图像特征： 偶函数的图像关于 对称；反之，图像关于y轴对称的函数一定是 函数. 3、奇函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且 ，则称y＝f(x)为奇函数． 4、奇函数的图像特征： 奇函数的图像关于 对称；反之，图像关于原点对称的函数一定是 函数． 5、奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 （1）奇(偶)函数的定义域关于　 　对称.  （2）偶函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点　 　也在f(x)图像上.  （3）奇函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x,f(x))关于原点的对称点　 　也f(x)的图像上.  （4）若函数f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,则必有f(0)=0,即函数图像必过原点. 2、 典例探究 题型一：奇偶函数的图像及应用 例1：已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数 f(x)在y轴左侧的图像，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图像； (2)根据图像写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图像写出使f(x)<0的x的取值集合． （4）(变条件)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ 【练】定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图像如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f(x)的图像； (2)比较f(1)与f(3)的大小． 例2：研究函数的性质，并作出函数的图像。 例3：求证：二次函数的图像关于对称. 【练】定义在的图像关于点（1,0）对称． 题型二：利用函数的奇偶性求值 例4：若函数是偶函数，定义域为[a-1,2a]，则a= ,b= 【练】已知函数，若，则 3、 知识测评 1、若函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．无法确定 2.知函数f(x)=x3+ax2+bx+c是定义在[2b-5,2b-3]上的奇函数,则的值为(　　). A. B. C.1 D.无法确定 3.已知f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2,若f(-3)=-3,则f(3)=　　　　.  4.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________． 5.已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________． 已知函数f(x)＝1－. (1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值； (2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． 6.已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝ 7.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)． (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． 4、 方法总结 根据奇偶性求解与函数有关的值域、定义域、不等式 根据奇、偶函数图像的对称性作出函数在定义域另一侧的图像，根据图像特征求解问题． 利用奇偶性求值的常见类型 (1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数． (2)求函数值：利用f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值． 学科网（北京）股份有限公司 $$