3.1.1椭圆及其标准方程教学设计和课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆的定义和标准方程 茶杯里的茶水 鸡蛋的轮廓 什么是椭圆？ 章节引言 如图，用与圆锥的轴成不同角度的面去截圆锥，可以得到不同的截口曲线. 椭圆 抛物线 双曲线 圆 圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些与圆密切相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.17世纪，笛卡儿发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数的方法研究圆锥曲线. 阿波罗尼斯（古希腊） 笛卡儿(法国） 发电厂冷却塔截面：双曲线 卫星接收天线截面：抛物线 圆锥曲线为何有如此广泛的应用？我们可以从他们的几何特征及其性质中得到答案！ 某些行星运行轨迹：椭圆 本章我们继续采用坐标法，在研究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题与实际问题,进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力. 那你知道如何画一个标准的椭圆吗？ 取一条定长的细绳，把它的两 端都固定在图板的同一点，套上铅 笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔 尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果 把细绳的两端拉开一段距离，分别 固定在图板的两点F1、F2 (如右图), 套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖， 画出的轨迹是什么曲线? 问题1：根据画的过程，你能说出什么是椭圆吗？ 追问1：确定椭圆有哪些几何要素？你能给出椭圆的定义吗？ 这是1679年法国数学家拉希尔发现的.称此曲线为椭圆. 平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. 动点M到定点F1、F2的距离之和等于定长的轨迹一定是椭圆吗？ 有了椭圆的定义，接下来要建立直角坐标系，求出椭圆的方程，再利用方程研究椭圆的性质. 追问1：观察椭圆的形状，你认为怎样建立直角坐标系能使椭圆方程形式简单？你是基于什么经验这样认为的？ 直角坐标系下，我们把以椭圆的对称中心为原点，对称轴为坐标轴的方程，称为椭圆的标准方程. 追问2：根据直线与圆的方程的学习经验，建系后，应按怎样的步骤来求出椭圆的方程呢？ 建系，设点，列式，化简，（证明）检验. 接下来根据椭圆的几何特征，在坐标系下，把椭圆上的点满足的几何条件转化为代数表示. （建系） 经过椭圆两焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy. （设点） 设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1、F2的坐标分别为(-c，0)、(c，0). 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1、F2的距离的和等于2a. （列式）由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}. 设为2c、2a能为问题的研究带来方便. 如何化简? (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2). 由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0. ⑥ ⑤ ④ ③ ① ② （化简） 根据曲线与方程的关系，思考以下两个问题： 1)椭圆上任一点的坐标(x,y)都满足方程⑥吗？ 2)以方程⑥的解为坐标的点在椭圆上吗？ ① ⑥ “曲线就是方程，方程就是曲线.” （检验）课后思考 三、椭圆的标准方程 这个方程表示焦点在x轴上，两个焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)的 椭圆，这里c2=a2-b2. O x y F1 F2 M 椭圆的标准方程： 1 2 y o F F M x 如右图，如果焦点F1、F2在y轴上，且F1、 F2 的坐标分别为(0，-c)、(0，c), a、b的意义同上， 那么椭圆的方程是什么? O x y F1 F2 M 这个方程表示焦点在y轴上，两个焦点是F1(0,-c)、F2(0,c)的 椭圆，这里c2=a2-b2. O x y F1 F2 M (-c,0) (c,0) y O x F1 F2 M (0,-c) (0,c) (1)椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； (2)椭圆的标准方程中的参数a、b满足a2=b2+c2； (3)在椭圆两种标准方程中，总有 a＞b＞0；. (4)椭圆的标准方程中，分母大的是a2， a2顶着焦点轴. 椭圆的标准方程的特点： 四、典型例题 例1、（1）判断下列方程哪些表示椭圆.若是，判断焦点位置，并说出焦点坐标. 焦点坐标（0，2）、（0，-2） 焦点坐标（1，0）、（-1，0） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1、(2)已知P到（2，0）、（-2，0）的距离之和为6，求点P的轨迹方程. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1、（3）平面内，已知