3.1.1椭圆及其标准方程（课件+教学设计）-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆及其标准方程（一）教学设计 广州市第六中学李丹萍 2023.09.14 1. 教材分析 “椭圆及其标准方程”是普通高中教课书（2019年版）选择性必修第一册3.1.1节的内容，是学生在学习“直线与圆的方程”以后，进一步深入学习曲线与方程的基础，起到承上启下的作用。本节课从几何学的视角探索椭圆的概念，从代数的视角，通过建立平面直角坐标系，推导椭圆的方程。 2. 学情分析 学生学习了直线与圆的标准方程，又掌握了圆的标准方程的形成过程，对曲线与方程有了一定的认识。但在学习椭圆的过程中，依然会遇到以下三个方面的挑战： ①抽象思想欠缺，比较难将椭圆概念的几何问题转化为代数问题； ②建模思想薄弱，求椭圆标准方程的过程是个比较抽象晦涩的过程，需要学生学会迁移圆的相关研究方法； ③运算能力较差，椭圆标准方程的化简是本节课的难点内容，尤其是化简含有两个根号的式子。 3. 教学目标 根据本节课的教学内容与构成形态，主要采用发现、分析、类比、归纳的教学方式，以及自主实验探究、小组协作的学习方式，实现椭圆从抽象到直观，方程从复杂到简单的教学目的。 ①引导学生进行实践活动，在画图的过程中发现椭圆的生成过程，归纳椭圆的定义，提升学生的直观想象和数学抽象素养。 ②经历椭圆标准方程的推导，并学会通过观察式子特点，实现复杂式子化简，让学生的数学运算能力在点滴引导及持续的课堂渗透中得到提升。 ③将所学的概念及公式应用在具体的数学问题解答中，实现对所学知识的巩固与落实。 4. 教学重点与难点 教学重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及其标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导及其应用。 教师活动 师生活动 设计意图 引入 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线是圆，那么如果改变截面与圆锥的轴所成的角，那会得到怎样的曲线？ 播放几何画板动画 我们可以看到截口曲线为不同的图形，这些是我们接下来要学习的圆锥曲线。那么究竟具有何种特征的图形称为椭圆呢？这就是我们今天要探究的主题——椭圆及其标准方程。 我们先看段简短视频。 学生观看几何画板动画，及圆锥截面模型 学生通过视频了解生活中椭圆，并由圆的画法过渡到椭圆 从熟悉的生活中的椭圆入手，让学生体会到数学不仅是理性的，更是生活中随处可见的，让学生从熟悉的知识出发，为学习椭圆做好准备。 一：探究椭圆的定义 问题1：现在同学们用准备好的实验素材，跟着老师一起，我们一起来尝试。如果把细绳的两端拉开一定距离，分别固定在两点，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹会是什么曲线呢？ 师生一起尝试画椭圆 实验素材：一张白纸，固定的两定点，两条细绳，一条较长，一条较短 引导学生从熟悉圆的概念入手，在学生的最近发展区探究椭圆的概念 问题2：大家请思考：在这一过程中，移动的笔尖满足的条件是什么？ 我们把平面内到两定点距离之和（大于）为常数的点的轨迹称为椭圆。两定点称为焦点，两定点距离称为焦距。 生：笔尖移动过程中，细绳长度保持不变，即笔尖到两定点的距离之和为常数。 把思维变成操作，学生通过动手实验获得参与感，从而形成对椭圆概念的深刻认识 问题3：如果我们把动点设为P，到两定点距离之和设为2a，焦距设为2c，上述结论可以转化为？ 为什么要大于2c呢？ 如果小于2c呢？ 生：+=2a>2c 2a>2c时，轨迹为以为焦点的椭圆 2a=2c时，轨迹为线段 2a<2c时，轨迹不存在 学生通过自主探索来主动获取理解概念所需要的条件，并且实现数学语言与数学符号的转化。 二：探究椭圆的标准方程 层次一：由研究圆的方程过渡到研究椭圆方程 问题1：同学们非常棒，这么快研究出了椭圆的定义，接下来我们应该研究什么呢？ 前面我们学习推导了圆的标准方程，，方程非常地简洁美观。我们能不能用同样的方法研究椭圆的标准方程呢？ 问题2：现在观察椭圆的形状，你认为该如何建立平面坐标系可能使我们的椭圆方程形式更加简单呢？ 学生回顾研究圆的标准方程的步骤，“建设现代化”，为研究圆做好准备。 生： ⑴建系：类比研究圆的方程，我们应该以为x轴，以的垂直平分线为y轴建系会使方程更加简洁 ⑵设点：(-c,0)，(c,0)，P(x,y) ⑶限制条件+=2a>2c ⑷等量关系代数化 +==2a 引导学生通过迁移，将学习圆的方程的方法运用到学习椭圆上。 将抽象的椭圆定义用简洁的符号语言表达出来，使学生学会文字语言，图形语言，符号语言之间的相互转化，提升学生的数学抽象素养 层次二：用不同方法化简椭圆方程 问题3：接下来我们要进行最关键的步骤：化简。现在大家试着独自完成化简，看谁计算得又快又准。 问题4：化简到上式已经很美观了，再观察所画椭图，你能从中找到, 的线段吗？若令b= ，上式还能化简写成？它们之间的关