3.1.1椭圆及其标准方程教学设计和课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆是生活中的一种常见图形 类比圆，我们应该按照怎样的路径研究椭圆？ 现实背景——椭圆的概念——椭圆的方程——椭圆的性质——实际应用 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 具有何种特征的图形才是椭圆呢？ 问题探究 探究：取一条定长的没有弹性的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 确定椭圆的几何要素:两个定点， (由此也就给定了),动点到的距离之和为常数 如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，(如图)，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？ 请同学们完成操作实验，并思考以下问题:笔尖(动点)移动过程中，哪些量发生了变化？哪些量不变？动点M满足的几何条件是什么? 确定一个椭圆需要哪些几何要素呢? 一、椭圆的定义 焦点 半焦距 椭圆的定义：我们把平面内与两个定点，的距离的和等于常数 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距. l (大于 F1 F2 M 焦距 (1)若点轨迹为椭圆. (2)若点轨迹为线段. (3)若点轨迹不存在. 类比圆的定义，你能根据确定椭圆的几何要素给出椭圆的精确定义吗？ 在17世纪后，法国数学家笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究椭圆，对椭圆的认识更加精准，接下来我们追随数学家的足迹，建立椭圆的标准方程。 问题探究 F1 F2 M （1）建系 （2）设点 （3）限制条件 （4）代入坐标（代数化） （5）化简 （6）检验 观察椭圆的形状,你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单? 问题探究 建系原则：“对称”、“简洁” F1 F2 M 问题探究 建系：以经过椭圆两焦点、 的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示. 设点：设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为.根据椭圆的定义，设点与焦点的距离的和等于. 限制条件： 由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集 代入坐标：. ① Q:观察方程的结构，你认为怎样变形有利于化简方程? Q:猜想化简后的方程会有哪些结构？(对称性) 问题探究 为了简化方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得 ② 对方程②两边平方，得 整理，得. ③ 对方程③两边平方，得. 整理，得. ④ 将方程④两边同时除以，得 ⑤ 由椭圆的定义可知，，即，所以. Q:已经是整式方程了,为什么还要整理成⑤？ Q:你能说说用2a、2c 而不是a、c表示椭圆定义中的定长与焦距的好处吗? 萨尔蒙移项两次平方 Q:可否对直接平方的方法简化运算？ 回溯历史 有理化法： . ① 等式两边同乘以，得 ② ①+②得 上式两边平方得 , 两边同时除以，得 回溯历史 洛必达和差术： 因为. 设， 两式平方相减得 所以 上式两边平方得 , 两边同时除以，得 问题探究 思考：观察右图，你能从中找出表示，，的线段吗？ 由图知， 令那么方程⑤就是. ⑥ 一、椭圆的标准方程 由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里. 检验：方程⑥ 的解和椭圆上的点的坐标有什们关系?也就是说,方程的解为坐标的点是否一定在椭圆上?反之,椭圆上的点的坐标是否一定满足方程? 当焦点F1,F2在y轴上时，椭圆的方程是什么？你能不做具体推导就得出结论吗? 问题探究 F2 F1 O M 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 焦点F1(0,-c)，F2(0,c) x y 标准方程中，分母哪个大，焦点就在哪个轴上 标 准 方 程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦 点 坐 标 a、b、c 的关系 焦点在x轴上 焦点在y轴上 y x M O F1 F2 ,最大，大小不确定 分析方程 三、练习巩固 练习1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0)，并且经过点，求它的标准方程. Q:你还有别的方法吗？ 四、椭圆的由来 古希腊人发现用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，可以得到不同的曲线，当圆锥的轴与截面所成的角不同时,可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。