3.1.1椭圆及其标准方程（课件+教学设计）——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

引导语：前面我们用坐标法研究了直线、圆及它们的位置关系，生产、生活中还有许多非常有用、有趣、我们还不大熟悉的曲线需要研究． 图1 思考：如图1，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？ 一、追根溯源，引入新知 结论：当截面与圆锥的轴所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线． 一、追根溯源，引入新知 （第一课时） 广州市花都区邝维煜纪念中学附属雅正学校 李娜 3.1.1 椭圆及其标准方程 3 二、动手实验，抽象椭圆的定义 问题1： 通过上面圆锥曲线的历史，我们已经知道了椭圆的大致形状，怎么动手画一个椭圆呢？ 先回忆圆的画法：平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。 做以下数学实验，实验步骤如下： [1]取一条细绳(没有弹性)， [2]用图钉把它的两端固定在板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形： 问题2： 画出的轨迹是什么？并思考如下三个问题： 二、动手实验，抽象椭圆的定义 (1)在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ (2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ 几何画板感知 5 思考：这一过程中，哪些量在变？哪些量又不变？ 1.椭圆的定义 图形语言 符号语言： 平面内 ，与两个定点 的距离之和等于常数 的点的轨迹叫椭圆，定点 称为焦点， 距离 称为焦距（一般用2c表示）. （大于|F1F2|） 问题3：如何把文字语言化成符号语言呢？ 二、动手实验，抽象椭圆的定义 文字语言： 7 注意： （1）在平面内.....大前提; 二、动手实验，抽象椭圆的定义 （2）通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c； 问题4：为什么要求 轨迹为线段 无轨迹 几何画板感知 当绳长等于两定点间距离，即 时, 当绳长小于两定点间距离，即 时， 例1. 平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 ，则动点P的轨迹为（ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 10 A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 变式1. 平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是 ，则动点P的轨迹为（ ） 8 A B D 变式2. 平面内，动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和7，则动点P的轨迹为 （ ） A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.无轨迹 2.椭圆定义辨析 10>|F1F2|=8 8=|F1F2|=8 7<|F1F2|=8 9 问题5：得到了椭圆的定义，那如何求椭圆的方程呢？（标准方程） 追问1：回忆求圆和求轨迹方程，它的一般步骤是什么？ “建”“设”“限”“代”“化” 三、数形结合，推导方程 M F1 F2 追问2：如何建立直角坐标系呢？ 一、建 二、设 三、限 五、化 x轴 y轴 原点 椭圆的焦距| F1F2 |=2c(c>0),设F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) ， 焦点F1、F2所在的直线 线段F1F2的垂直平分线 线段F1F2的中点 由椭圆的定义 四、代 得出方程 方程中有两个根式 设点M(x, y)是椭圆上任意一点. “对称”、“简洁” F1 F2 M O y 椭圆方程推导 (-c,0) (c,0) (x,y) 如何化简这个方程呢？ 几何图形代数化 五、化简： 两边平方得： 再移项： 两边再平方得： x O y M F1 F2 (x,y) P (-c,0) (c,0) 椭圆方程推导 移项 互逆过程 x O y F1 F2 五、化简：得 两边同除 得： P (-c,0) (c,0) 课本106页思考题你能在图中找出 表示的线段吗？ 则椭圆的方程为： 代数量a,