立体几何核心考点（四）旋转体的外接球讲义-2024届高三数学二轮复习

2024届立体几何核心考点（四）旋转体的外接球 一．基础知识： 1.外接球球心： 直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. 正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点。 2.计算公式：设底面小圆的半径为，棱柱高为，则. 3.三棱锥外接球的球心在线段或者线段的延长线上，再次根据勾股定理，设外接球的半径为，的外接圆半径为，线段的长度为，则有：或. 二．经典例题： 1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（    ） A． B． C． D．3 3．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______． 4．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2024届立体几何核心考点（四）旋转体的外接球 经典例题： 1．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 解析：在三棱锥中，如图，，则，同理， 而平面，因此平面，在等腰中，，则，令的外接圆圆心为，则平面，，有，取中点D，连接OD，则有，又平面，即，从而，四边形为平行四边形，，又，因此球O的半径，所以球的表面积.故选：A 2．若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为（    ） A． B． C． D．3 解析：①若球心在正三棱锥内部，如图所示： 其中点在底面的投影为点，所以高为，延长交于点，因为三棱锥为正三棱锥，所以为正三角形，点为的重心，为的高， 所以，，设外接球的半径为，则，在中有：，即，解得：； ②若球心在正三棱锥外部，如图所示： 由①知，当球心在的延长线上时，在中有：，即，解得：. 故选：D. 3．在直三棱柱中，且，已知该三棱柱的体积为2，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______． 解析：设BC的中点为D，的中点为，，由题，得三棱柱外接球的球心在线段的中点O处，由三棱柱的体积为2，得，即， 由题，得，所以，外接球表面积 ．故答案为： 4．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（       ） A． B． C． D． 解析：∵ 球的体积为，所以球的半径，设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，，所以， 所以正四棱锥的体积， 所以，当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，又时，，时，，所以正四棱锥的体积的最小值为，所以该正四棱锥体积的取值范围是．故选：C． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$