热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

热点7-3 双曲线及其应用 双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。 【题型1 双曲线的定义及概念辨析】 满分技巧 （1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件： （），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； （2）若常数满足约束条件：， 则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； （3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； （4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。 【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ） A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支 【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C：（，）的一条渐近线过点，，是C的左右焦点，且，若双曲线上一点M满足，则（ ） A．或 B． C． D． 【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线的上、下焦点分别为，，的一条渐近线过点，点在上，且，则 . 【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是圆 B．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是椭圆 C．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支 D．方程表示的在复平面内对应点的轨迹是抛物线 【题型2 利用定义求距离和差最值】 满分技巧 利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值 【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（ ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点，双曲线的左焦点为，点在双曲线的右支上运动.当的周长最小时，（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知是离心率为的双曲线的右支上一点，则到直线的距离与到点的距离之和的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（ ） A． B． C．8 D．10 【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线，其一条渐近线方程为，右顶点为A，左，右焦点分别为，，点P在其右支上，点，三角形的面积为，则当取得最大值时点P的坐标为（ ） A． B． C． D． 【题型3 双曲线标准方程的求解】 满分技巧 1、由双曲线标准方程求参数范围 （1）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （2）对于方程，当时表示双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线； 当时表示焦点在轴上的双曲线. （3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。 2、待定系数法求双曲线方程的五种类型 （1）与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)； （2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)； （3）与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2＜k＜a2)； （4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； （5）与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2＜λ＜a2) 【例3】（2023·全国·高三对口高考）与有相同渐近线，焦距，则双曲线标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．已知